题型专题(十七)圆锥曲线的方程与性质[师说考点]圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.[典例](1)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1[解析]选A由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.(2)(2016·沈阳模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝＝，∴|PF|＝＝.[答案]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．[演练冲关]1．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上得＋＝1①.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝②.又 c2＝a2－b2③，联立①②③得a2＝8，b2＝6.即椭圆方程为＋＝1.2．(2016·广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)， ，∴xA＋1＝2(xB＋1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝，弦AB的中点到抛物线准线的距离为＋1＝＋1＝.答案：[师说考点]1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典例](1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8[解析]选B设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2. |AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D. 点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.(2)(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为()A.B.C.D．2[解析]选A法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.应用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[演练冲关]1．(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1解析：选A依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.故选A.2．(2016·广州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，...
