(三)立体几何专练1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PA⊥BD.(1)求证：PB＝PD；(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．2．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF.(1)若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF；(2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．3．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1为矩形，AB＝BC＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，BC⊥AB1.(1)证明：CD⊥AB1;(2)若OC＝，求二面角ABCB1的余弦值．4．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD，且使C′D＝.(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB；(2)求二面角AC′DB的余弦值．答案1．解：(1)证明：连接AC，AC与BD交于点O，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD且O为BD的中点，又PA⊥BD，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，由于PO⊂平面PAC，故BD⊥PO，又BO＝DO，故PB＝PD.(2)设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，EQ綊CD＝AF，所以AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，因为EF⊥平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，所以AQ⊥PD，又PD的中点为Q，所以AP＝AD＝.由AQ⊥平面PCD，可得AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又BD⊥PA，所以PA⊥平面ABCD.结合题意可知，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，0，0)，Q，D(0，，0)，P(0，0，)，＝，＝(，0，－)，为平面PCD的一个法向量．设直线PB与平面PCD所成的角为θ，所以直线PB与平面PCD所成的角为.2．解：(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN.在矩形CDEF中，点N为EC的中点，因为M为EA的中点，所以MN∥AC，又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，且DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DE＝b，则B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)，＝(－a，－a，b)，＝(0，2a，b)，＝(－a，a，0)，因为BE⊥DF，所以＝(－a，－a，b)·(0，2a，b)＝b2－2a2＝0，b＝a.设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)，可得到m的一个解为m＝(1，1，)，注意到平面EAD的一个法向量n＝(0，1，0)，而cosm，n＝＝，所以平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小为60°.3．解：(1)证明：由△ABB1与△DBA相似，知DB⊥AB1，又BC⊥AB1，BD∩BC＝B，∴AB1⊥平面BDC，CD⊂平面BDC，∴CD⊥AB1.(2)由于OC＝，BC＝1，在△ABD中，可得OB＝，∴△BOC是直角三角形，BO⊥CO.由(1)知CO⊥AB1，则CO⊥平面ABB1A1.以O为坐标原点，OA，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，B1，＝，＝，＝，设平面ABC，平面BCB1的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，∴n1＝(，－1，)，∴n2＝(1，，－2)，∴cosn1，n2＝＝－，又二面角ABCB1为钝二面角，∴二面角ABCB1的余弦值为－.4．解：(1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，∵C′D＝，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵C′O⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D，∴＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，＝.设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，即令z1＝1，则y1＝－1，x1＝，∴n1＝(，－1，1)．设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则y2＝1，x2＝，∴n2＝，∴cos＝＝＝，由图可知二面角AC′DB为钝角．∴二面角AC′DB的余弦值为－.
