“5+2选1”解答题限时练(二)1.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,公比为q.等差数列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和Tn.2.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=2.(1)证明:平面A1CO⊥平面BB1D1D;(2)若∠BAD=60°,求二面角BOB1C的余弦值.3.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P,左、右焦点分别为F1,F2.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的内切圆半径为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.5.已知函数f(x)=+alnx.(1)当a>0时,若曲线f(x)在点(2a,f(2a))处的切线过原点,求a的值;(2)若函数f(x)在其定义域上不是单调函数,求a的取值范围;(3)求证:当a=1时,ln(n+1)>…+++(n∈N*).6.[二选一](选修4-4)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与y轴的交点为P,直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA|·|PB|的值.(选修4-5)设f(x)=|ax-1|.(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;(2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.答案1.解:(1)设数列{bn}的公差为d, a3+S3=27,q=,∴q2+3d=18,6+d=q2,联立方程可得q=3,d=3,∴an=3n-1,bn=3n.(2)由(1)知Sn=,cn==··=-,∴Tn=1…-+-+-++-=1-=.2.解:(1)证明:因为A1O⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1O⊥BD.因为四边形ABCD是菱形,所以CO⊥BD.因为A1O∩CO=O,所以BD⊥平面A1CO.因为BD⊂平面BB1D1D,所以平面BB1D1D⊥平面A1CO.(2)因为A1O⊥平面ABCD,CO⊥BD,以O为原点,方向为x轴,y轴,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=AA1=2,∠BAD=60°,所以OB=OD=1,OA=OC=,OA1==1.则B(1,0,0),C(0,,0),A(0,-,0),A1(0,0,1),所以=(0,,1),=(1,,1).设平面OBB1的法向量为n=(x,y,z),因为=(1,0,0),=(1,,1),所以令y=1,得平面OBB1的一个法向量n=(0,1,-).同理可求得平面OCB1的一个法向量为m=(1,0,-1).所以cos==.因为二面角BOB1C的平面角为钝角,所以二面角BOB1C的余弦值为-.3.解:(1)由已知条件和概率的加法公式,有P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为:Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由题可得,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.故在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是.4.解:(1)由=,得a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆方程为+=1.(2)设直线l的方程为x=ty-1,代入椭圆方程得(4+3t2)y2-6ty-9=0,显然判别式大于0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),△AF2B的内切圆半径为r0,则有y1+y2=,y1y2=,r0=,所以S△AF2B=S△AF1F2+S△BF1F2=|F1F2|·|y1-y2|=|F1F2|·=.而S△AF2B=|AB|r0+|BF2|r0+|AF2|r0=r0(|AB|+|BF2|+|AF2|)=r0(|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|)=r0·4a=×8×=,所以=,解得t2=1,因为所求圆与直线l相切,所以半径r==,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=2.5.解...