第4练用好基本不等式[题型分析·高考展望]基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时“”要注意拆、拼、凑等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.答案B解析①当m＝2时， f(x)在[，2]上单调递减，∴0≤n＜8，mn＝2n＜16.②m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－.据题意得，当m＞2≥时，－2，即2m＋n≤12， ≤≤6，∴mn≤18，由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6.当m＜2时，抛物线开口向下，≤据题意得，－，即m＋2n≤18， ≤≤9，∴mn≤，由2n＝m且m＋2n＝18得m＝9＞2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m＋2n＝18(m＜2，n＞8)．∴mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q答案C解析 0＜a＜b，∴＞，又 f(x)＝lnx在(0∞，＋)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.3．(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．答案4解析log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案8解析在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：tanB＋tanC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，∴≥2，∴tanAtanBtanC≥8.5．(2016·上海)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．答案(2∞，＋)解析由已知，ab＝1，且a≠b，∴a＋b＞2＝2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)“”在运用基本不等式求最值时，必须保证一正，二定，三相等，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式“”基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的需求寻“”找结合点，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x＋＝x－a＋＋a(x>a)．(2)若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)．例1(1)已知正常数a，b满足＋＝3，则(a＋1)(b＋2)的最小值是________．答案解析由＋＝3，得b＋2a＝3ab，∴(a＋1)(b＋2)＝2a＋b＋ab＋2＝4ab＋2，又a＞0，b＞0≥，∴＋2，∴ab≥(当且仅当b＝2a时取等号)，∴(a＋1)(b＋2)的最小值为4×＋2＝.(2)求函数y＝(x＞－1)的最小值．解设x＋1＝t，则x＝t－1(t＞0)，∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，∴ymin＝9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本“”“”不等式应用的条件，即和或积为定值．等号能够取得．变式训练1已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20，(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1) x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x＞0，y＞0，∴＋＝·≥＝＝，当且仅当＝时等号成立．由解得∴＋的...
