第21练圆锥曲线中的范围、最值、证明问题[明晰考情]1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度.考点一直线与圆锥曲线方法技巧对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b(斜率不为0)的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|＝·|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|.1.(2018·哈尔滨模拟)已知F是椭圆＋＝1的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)两点.(1)若x1＋x2＝3，求弦AB的长；(2)O为坐标原点，∠AOB＝θ，满足3OA·OBtanθ＝4，求直线l的方程.解(1)由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，联立得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，Δ>0显然成立. x1＋x2＝3，∴＝3，∴k2＝1，则x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝＝.(2) 3OA·OBtanθ＝4，∴|OA||OB|sinθ＝，∴S△AOB＝，即×2×|y1－y2|＝，由题意知，l的斜率不为0，故设直线l的方程为x＝my＋2，联立得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ>0显然成立.∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝，即m4－3m2＝0，∴m＝0或m＝±，∴直线l的方程为x＝2或x±y－2＝0.2.(2017·全国Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1).设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7或m＝－1(舍).所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.3.(2017·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程.解(1)设点F的坐标为(－c,0)，依题意，得＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.所以椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，故点Q.将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝.由点B异于点A，可得点B，由Q，可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故点D.所以|AD|＝1－＝.又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±.所以直线AP的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.考点二圆锥曲线中的范围、最值问题方法技巧求圆锥曲线中范围、最值的主要方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)过点P(2,1)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.解(1) e2＝＝＝，∴a2＝4b2.又＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0，判别式Δ＝16－4m2>0，即m2<4.又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4，则|AB|＝×＝，点P到直线l的距离d＝＝.因此S△PAB＝·d·|AB|＝××＝≤＝2，当且仅当m2＝2时上式等号成立，且满足Δ>0，故△...
