大题专项练(四)概率与统计A组基础通关1.袋子里有除颜色外完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分ξ的分布列和数学期望.解(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为37,取出黑球的概率为47,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)=C32(37)2(47)=3×949×47=108343.(2)ξ的取值可以是3,4,5,6.P(ξ=3)=C30C43C73=435,P(ξ=4)=C31C42C73=1835,P(ξ=5)=C32C41C73=1235,P(ξ=6)=C33C40C73=135.ξ3456P43518351235135从而得分ξ的数学期望Eξ=3×435+4×1835+5×1235+6×135=307.2.为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析,结果如表:(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)分数[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲班频数1145432乙班频数0112664(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计(2)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为X,求X的分布列和期望.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.临界值表P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解(1)补充的2×2列联表如下表:甲班乙班总计成绩优秀91625成绩不优秀11415总计202040根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=40(9×4-16×11)225×15×20×20≈5.227>3.841,所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C113C153=165455=3391,P(X=1)=C112C41C153=220455=4491,P(X=2)=C111C42C153=66455,P(X=3)=C43C153=4455,所以X的分布列为X0123P33914491664554455E(X)=0×3391+1×4491+2×66455+3×4455=45.3.自来水公司对某镇居民用水情况进行调查,从该镇居民中随机抽取50户作为样本,得到他们10月份的用水量(单位:吨),用水量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的用水量频率分布直方图如图.(1)求a的值,并根据样本数据,试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值;(2)以样本的频率作为概率,从该镇居民中随机抽取3户,其中10月份用水量在[5,15]内的用户数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由最高矩形中点的横坐标为20,可估计该镇居民10月份用水量的众数为20吨.50户居民10月份用水量的平均值x=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(吨),故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨.(2)利用样本估计总体,该镇居民10月份用水量在[5,15]内的概率为0.2,则X~B(3,15),X=0,1,2,3.P(X=0)=C30×(45)3=64125;P(X=1)=C31×(45)2×15=48125;P(X=2)=C32×45×(15)2=12125;P(X=3)=C33×(15)3=1125.∴X的分布列为X0123P6412548125121251125∴E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35.4.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从甲公司记录的50天中随机抽取3天,求这3天送餐单数都不小于40的概率;(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=C253C503=23196.(2)①设乙公司...
