大题专项练(五)函数与导数A组基础通关1.(2017全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(ⅰ)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.(ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-lna.当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)<0;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.(ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-1a+lna.①当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点;②当a∈(1,+∞)时,由于1-1a+lna>0,即f(-lna)>0,故f(x)没有零点;③当a∈(0,1)时,1-1a+lna<0,即f(-lna)<0.又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-lna)有一个零点.设正整数n0满足n0>ln(3a-1),则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.由于ln(3a-1)>-lna,因此f(x)在(-lna,+∞)有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.解(1)由题意,得下潜用时60v(单位时间),用氧量为v103+1×60v=3v250+60v(升);水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);返回水面用时60v2=120v(单位时间),用氧量为120v×1.5=180v(升),∴总用氧量y=3v250+240v+9(v>0).(2)y'=3v25−240v2=3(v3-2000)25v2,令y'=0,得v=103√2,当0103√2时,y'>0,函数单调递增,∴当0e+2-1e.(1)解由定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=1x−a(x-1)2=x2-(a+2)x+1x(x-1)2,设h(x)=x2-(a+2)x+1,要使y=f(x)在(e,+∞)上有极值,则x2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又 x1·x2=1,∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x2>e,∴0e+1e-2,②联立①②可得a>e+1e-2.即实数a的取值范围是e+1e-2,+∞.(2)证明由(1)知,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上有最小值f(x2),即∀t∈(1,+∞),都有f(t)≥f(x2),又当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在(0,1)上有最大值f(x1),即对∀s∈(0,1),都有f(s)≤f(x1),又 x1+x2=2+a,x1x2=1,x1∈0,1e,x2∈(e,+∞),∴f(t)-f(s)≥f(x2)-f(x1)=lnx2+ax2-1-lnx1-ax1-1=lnx2x1+ax2-1−ax1-1=lnx22+x2-1x2(x2>e),设k(x)=lnx2+x-1x=2lnx+x-1x(x>e),则k'(x)=2x+1+1x2>0(x>e),∴k(x)在(e,+∞)上单调递增,∴k(x)>k(e)=2+e-1e,∴f(t)-f(s)>e+2-1e.4.(2019河南商丘模拟)已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x(a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f(x)的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,有f(x1)+f(x2)<2fx1+x22.(1)解函数f(x)的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f(0)=-a<0.又 直线y=-x恰好通过原点,∴函数y=f(x)的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f(x)<-x,即(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x<-x. 2x+1>0,∴a>ln(2x+1)2x+1.令h(x)=ln(2x+1)2x+1x>-12,则h'(x)=2-2ln(2x+1)(2x+1)2x>-...
