专题突破练17空间中的平行与几何体的体积1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2❑√2,求三棱锥C-A1DE的体积.2.(2019山东菏泽一模,文18)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,BD1⊥B1D,四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,E,F分别是线段AB的两个三等分点.(1)求证:D1F∥平面A1DE;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,AD=AB=1.(1)若点G为线段BC的中点,证明:平面EFG∥平面PAB;(2)在(1)的条件下,求以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高.4.(2019安徽合肥一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,△BCD为等边三角形,BD=2❑√3,PA=❑√2,AB=AD=PB=PD,∠BAD=120°.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.(2019山西考前适应训练二,文19)如图,平面ABCD⊥平面CDEF,且四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=12CD,M是线段DE上的动点.(1)试确定点M的位置,使BE∥平面MAC,并说明理由;(2)在(1)的条件下,四面体E-MAC的体积为3,求线段AB的长.6.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.7.(2019湖南湘潭一模,文19)如图,在各棱长均为4的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,∠ABD=60°,E,F分别为BB1,DD1棱上一点,且DF=1,BE=3EB1.(1)证明:A1F∥平面ACE;(2)在图中作出点A在平面A1BD内的正投影H(说明作法及理由),并求三棱锥B-CDH的体积.8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB=BC=❑√2,AD=DC=❑√5,PD=2,AB⊥BC,E是△PAC的重心,F,G分别在侧棱PC和PD上,且PFPC=PGPD=23.(1)求证:平面EFG∥平面ABCD;(2)若三棱锥P-EFG的体积为1681,求点A到平面PCD的距离.参考答案专题突破练17空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)解因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2❑√2得∠ACB=90°,CD=❑√2,A1D=❑√6,DE=❑√3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以VC-A1DE=13×12×❑√6×❑√3×❑√2=1.2.(1)证明连接AD1与A1D交于点M,则M为AD1的中点,连接EM.因为E,F分别是线段AB的两个三等分点,所以E是线段AF的中点.又因为M是线段AD1的中点,所以EM∥D1F.又因为EM⊂平面A1DE,D1F⊄平面A1DE,所以D1F∥平面A1DE.(2)解因为四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,且D1D⊥底面ABCD,所以侧面为四个全等的矩形,所以四个侧面的面积为S侧=6×4×4=96.因为D1D⊥平面ABCD,连接BD,B1D1,所以四边形BDD1B1是矩形,又BD1⊥B1D,所以四边形BDD1B1是正方形,所以BD=D1D=6,所以S△ABD=12BD·❑√AD2-(12BD)2=12×6×❑√42-(12×6)2=3❑√7,所以S四边形ABCD=2S△ABD=6❑√7.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为S表=S侧+2S四边形ABCD=96+12❑√7.3.(1)证明 E,F分别是PC,PD的中点,∴EF∥CD. 底面ABCD是矩形,∴CD∥AB.∴EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB. EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.(2)解 PA⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,∴PA⊥BC. BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴C到平面PAB的距离为BC=1,∴以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高为12.4.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM. △BCD为等边三角形,∴BM⊥CD. ∠BAD=120°,AD=AB,∴∠ADB=30°,∴AD⊥CD,∴BM∥AD.又BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD. E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD. EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.又BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC交BD于点O,连接PO. CB=CD,AB=AD,∴AC⊥BD,O为BD的中点.又∠BAD=120°,BD=2❑√3,△PBD≌△ABD,∴AO=PO=1.又PA=❑√2,∴PA2=PO2+OA2,∴PO⊥OA.又PO⊥BD,∴PO⊥平面ABD,即四棱锥P-ABCD的高为PO=1,∴四棱锥P-ABCD的体积V=13×❑√34×(2❑√3)2+12×2❑√3×1×1=4❑√33.5.解(1...
