专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2019云南师范大学附属中学高三第八次月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=❑√22,短轴的一个端点到焦点的距离为❑√2.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点在直线x=-12上,求直线l与y轴交点纵坐标的最小值.2.(2019安徽合肥高三第三次教学质量检测)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P1,❑√22在椭圆C上,且△PF1F2的面积为❑√22.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,求⃗F2A·⃗F2B的取值范围.3.(2019河南驻马店高三上学期期末考试)已知抛物线Γ的顶点在坐标原点,其焦点F在y轴正半轴上,E为直线y=12x上一点,圆E与x轴相切(E为圆心),且E,F关于点M(-2,0)对称.(1)求圆E和抛物线Γ的标准方程;(2)过M的直线l交圆E于A,B两点,交抛物线Γ于C,D两点,求证:|CD|>❑√2|AB|.4.(2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点P(1,m)在C上,且PF⊥x轴,椭圆C的离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,且⃗OA·⃗OB>2(O为坐标原点),求k的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得⃗KF=t⃗KB+(1-t)⃗KD.6.(2019河南濮阳高三5月模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P在椭圆上,且△PF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求1213|AB|2+1316d2的最大值.参考答案专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解(1)由已知得椭圆的离心率为e=ca=❑√22,短轴的一个端点到焦点的距离为❑√2,解得a=❑√2,b=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,则直线AB与y轴交点的纵坐标为m,设点A(x1,y1),B(x2,y2).将直线AB的方程与椭圆方程联立{y=kx+m,x22+y2=1,化简得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由韦达定理得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1,Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,化简得m2<2k2+1.由线段AB的中点在直线x=-12上,得x1+x2=-1,故-4km2k2+1=-1,即4km=2k2+1,所以m=2k2+14k=k2+14k≥2❑√k2·14k=❑√22,当且仅当k2=14k,即k=❑√22时取等号,此时m2<2k2+1,满足Δ>0,因此,直线l与y轴交点纵坐标的最小值为❑√22.2.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆C经过点P1,❑√22,且△PF1F2的面积为❑√22,得1a2+12b2=1,又a2=b2+c2,且12×2c×❑√22=❑√22,即c=1.解得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l的斜率不存在,可得点A,B的坐标为-1,❑√22,-1,-❑√22,则⃗F2A·⃗F2B=72.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+1),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.则Δ=16k4-8(1+2k2)(k2-1)=8k2+8>0恒成立.所以x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2(k2-1)1+2k2.所以⃗F2A·⃗F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=7k2-11+2k2=72−92(1+2k2).又k2≥0,则⃗F2A·⃗F2B=72−92(2k2+1)∈-1,72.综上可知,⃗F2A·⃗F2B的取值范围为-1,72.3.(1)解设抛物线Γ的标准方程为x2=2py(p>0),则焦点F的坐标为0,p2.已知E在直线y=12x上,故可设E(2a,a).因为E,F关于点M(-2,0)对称,所以{2a+02=-2,p2+a2=0,解得{a=-2,p=4.所以Γ的标准方程为x2=8y.因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=2,圆心E(-4,-2),所以圆E的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.(2)证明由(1)知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则E(-4,-2)到直线l的距离为d=|2k-2|❑√k2+1.所以|AB|=2❑√4-d2=4❑√2kk2+1,k>0.由{x2=8y,y=k(x+2),消去y并整理得x2-8kx-16k=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-16k,Δ=64k2+64k>0.所以|CD|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=8❑√1+k2·❑√k2+k.因为k>0,k2+k>k,k2+1>1,所以|CD|2|AB|2=2(1+k2)2(k2+k)k>2kk...
