专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的一点,PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△F1PF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)过F2的直线l与C交于A,B两点,设O为坐标原点,若⃗OE=⃗OA+⃗OB,求四边形AOBE面积的最大值.2.(2019安徽合肥高三第三次教学质量检测)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P1,❑√22在椭圆C上,且△PF1F2的面积为❑√22.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,求⃗F2A·⃗F2B的取值范围.3.(2019河南驻马店高三上学期期末考试)已知抛物线Γ的顶点在坐标原点,其焦点F在y轴正半轴上,E为直线y=12x上一点,圆E与x轴相切(E为圆心),且E,F关于点M(-2,0)对称.(1)求圆E和抛物线Γ的标准方程;(2)过M的直线l交圆E于A,B两点,交抛物线Γ于C,D两点,求证:|CD|>❑√2|AB|.4.(2019贵州贵阳第一中学高考适应性月考卷)已知圆心为C(0,s)(s>0),半径为❑√5的圆C被直线3x+4y+1=0截得的弦长为4,等轴双曲线M的上焦点是圆C的圆心.(1)求双曲线M的标准方程;(2)D(-2,0),E(2,0)为x轴上的两点,若圆C内的动点P使得|PD|,|PO|,|PE|成等比数列(O为原点),求⃗PD·⃗PE的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得⃗KF=t⃗KB+(1-t)⃗KD.6.(2019河南濮阳高三5月模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P在椭圆上,且△PF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求1213|AB|2+1316d2的最大值.参考答案专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解(1)由题意得,|PF1|2+|PF2|2=4,12|PF1||PF2|=1,所以a=|PF1|+|PF2|2=❑√|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|2=❑√2.又c=1,所以b=❑√a2-c2=1.故C的方程为x22+y2=1.(2)由题意得,AB不平行于x轴,设AB:x=my+1,联立x22+y2=1,得(m2+2)y2+2my-1=0,则Δ=8(m2+1)>0,y1,y2=-m±❑√2(m2+1)m2+2.因为⃗OE=⃗OA+⃗OB,所以四边形AOBE为平行四边形.故四边形AOBE的面积S=2S△AOB=|y1-y2|=2❑√2❑√m2+1m2+2=2❑√2❑√m2+1+1❑√m2+1.因为❑√m2+1+1❑√m2+1≥2,当且仅当m=0时取等号,于是四边形AOBE面积的最大值为❑√2.2.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆C经过点P1,❑√22,且△PF1F2的面积为❑√22,得1a2+12b2=1,又a2=b2+c2,且12×2c×❑√22=❑√22,即c=1.解得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l的斜率不存在,可得点A,B的坐标为-1,❑√22,-1,-❑√22,则⃗F2A·⃗F2B=72.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+1),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.则Δ=16k4-8(1+2k2)(k2-1)=8k2+8>0恒成立.所以x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2(k2-1)1+2k2.所以⃗F2A·⃗F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=7k2-11+2k2=72−92(1+2k2).又k2≥0,则⃗F2A·⃗F2B=72−92(2k2+1)∈-1,72.综上可知,⃗F2A·⃗F2B的取值范围为-1,72.3.(1)解设抛物线Γ的标准方程为x2=2py(p>0),则焦点F的坐标为0,p2.已知E在直线y=12x上,故可设E(2a,a).因为E,F关于点M(-2,0)对称,所以{2a+02=-2,p2+a2=0,解得{a=-2,p=4.所以Γ的标准方程为x2=8y.因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=2,圆心E(-4,-2),所以圆E的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.(2)证明由(1)知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则E(-4,-2)到直线l的距离为d=|2k-2|❑√k2+1.所以|AB|=2❑√4-d2=4❑√2kk2+1,k>0.由{x2=8y,y=k(x+2),消去y并整理得x2-8kx-16k=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-16k,Δ=64k2+64k>0.所以|CD|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=8❑√1+k2·❑√k2+k.因为k>0,k2+k>k,k2+1>1,所以|CD|2|AB|2=2(1+k2)2(k2+k)k>2kk=2.所以|CD|2>2|AB|2,即|CD|>❑√2|AB|.4....
