规范练(二)立体几何问题1.在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：EG⊥平面BDF.证明(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綊BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG.(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.∵EF綊BG，EF＝BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.4．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB＝VA＝VB＝VC.(1)求证：OD∥平面VBC；(2)求证：AC⊥平面VOD.证明(1)∵O、D分别是AB和AC的中点，∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，∴OD∥平面VBC.(2)∵VA＝VB，O为AB中点，∴VO⊥AB.连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，∴△VOA≌△VOC，∴∠VOA＝∠VOC＝90°，∴VO⊥OC.又∵AB∩OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴VO⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO.又∵VA＝VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD.∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VO∩VD＝V，∴AC⊥平面VOD.
