【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习专题整合突破练3理（含最新原创题，含解析）1．设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin的值．解(1)因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝
所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝
(2)法一因为a∥b，所以tanθ＝2
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－
所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝
法二因为a∥b，所以tanθ＝2
所以sinθ＝，cosθ＝
因此sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－
所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝
2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB
(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；(2)求证：PD∥平面EAC
证明(1) PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB
又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB
(2) PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD
又 PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．∴DC＝AC＝(AB)＝2AB
连接BD，交AC于点M，连接EM，则＝＝2
在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC
3．如图，椭圆＋＝1(a＞b
