第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝，则B＝()A.B.C.D.解析因为cosA＝，所以sinA＝＝，由正弦定理，得＝，所以sinB＝，又因为b＜a，所以B＜，B＝，故选A.答案A2．(·宁波模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2解析因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1解析由正弦定理＝及已知条件，得c＝2，又sinA＝sin(B＋C)＝×＋×＝.从而S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.答案B4．(·金华模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c“，则a＝2bcosC”是“△ABC”是等腰三角形的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2bcosC及正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)－2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinBcosC＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcosC“．因此，a＝2bcosC”是“△ABC”是等腰三角形的充分不必要条件，故选A.答案A5．(·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．答案C二、填空题6．(·丽水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.答案或7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________.解析由正弦定理＝，将8b＝5c及C＝2B代入得＝，化简得＝，则cosB＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.答案8．(·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.解析由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.答案2三、解答题9．(·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝＝，因为B＝A＋，所以sinB＝sin＝cosA＝.由正弦定理，得b＝＝＝3.(2)由B＝A＋，得cosB＝cos＝－sinA＝－.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.因此△ABC的面积S＝absinC＝×3×3×＝.10．(·杭州检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac＝3，S△ABC＝.(1)求B；(2)若b＝，求△ABC的周长．解(1)因为S△ABC＝acsinB，所以×3sinB＝，即sinB＝.又因为0＜B＜π，所以B＝或.(2)由(1)可知，B＝或，当B＝时，因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，ac＝3，所以a＋c＝；当B＝时，因为a2＋c2＋ac＝2，ac＝3，所以a2＋c2＝－1(舍去)，所以△ABC的周长为a＋c＋b＝＋.能力提升题组(建议用时：35分钟)11．(·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.C.D．3解析由csinA＝acosC，得sinCsinA＝sinAcosC，又在△ABC中sinA≠0，所以sinC＝cosC，tanC＝，C∈(0，π)，所以C＝.所以sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin，A∈，所以当A＝时，sinA＋sinB取得最大值，故选C.答案C12．(·东北三省四市联考)在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c≥，满足＋1，则角A的范围是()A.B.C.D.≥解析由＋1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc≥，即，即cosA≥(0＜A＜π)，所以0＜A≤，故选A.答案A13．(·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的...
