第2讲用导数研究函数的单调性、极值与最值分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(·长春名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()．A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析依题意得，当x∈(∞－，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e∞，＋)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(∞－，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e∞，＋)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.答案C2．(·济宁模拟)若函数h(x)＝2x－＋在(1∞，＋)上是增函数，则实数k的取值范围是()．A．[－2∞，＋)B．[2∞，＋)C．(∞－，－2]D．(∞－，2]解析由条件得h′(x)＝2≥＋＝0在(1∞，＋)上恒成立，即k≥－2x2在(1∞，＋)上恒成立，所以k∈[－2∞，＋)．答案A3．(·青岛模拟)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()．A．－2B．0C．2D．4解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案C4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()．A．(－1,2)B．(∞－，－3)∪(6∞，＋)C．(－3,6)D．(∞－，－1)∪(2∞，＋)解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.解析由f′(x)＝＝0，∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.答案36．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝ex－2.当x＜ln2时，f′(x)＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0.∴f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a，则函数有零点，即f(x)min≤0.∴2－2ln2＋a≤0，∴a≤2ln2－2.答案(∞－，2ln2－2]三、解答题(共25分)7．(12分)(·浙江五校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解(1) f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题易知，即解得(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为和(1,2]．8．(13分)(·辽宁卷)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a＜－1，如果对任意x1，x2∈(0∞，＋)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求实数a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0∞，＋)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0∞，＋)上单调递减；当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.所以当x∈时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．(2)不妨设x1≥x2，而a＜－1，由(1)知f(x)在(0∞，＋)上单调递减，从而对于任意的x1，x2∈(0∞，＋)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|成立，它等价于对任意的x1，x2∈(0，∞＋)，有f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.①令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4，①式等价于g(x)在(0∞，＋)上单调递减，即＋2ax＋4≤0在(0∞，＋)上恒成立，从而a≤＝－2在(0∞，＋)上恒成立，由于－2≥－2，故a的取值范围是(∞－，－2]．分层B级创新能力提升1．(·蚌埠质检)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()．A．[1∞，＋)B.C．[1,2)D.解析因为f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意得解得1≤k<.故选B.答案B2．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()．A．2B．3C．6D．9解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b“”时＝成立，所以ab的最大值为9.答案D3．若函数f(x...
