第3讲等比数列及其前n项和分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·北京海淀区一模)在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝()．A.B.C.D.解析在等比数列{an}中a＝a3a5，又a4＝a3a5，所以a4＝1，故q＝，所以a7＝.答案B2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()．A．4·nB．4·nC．4·n－1D．4·n－1解析(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，∴an＝4·n－1.答案C3．(·浙江改编)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝()．A.B.C.D．2解析 S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或q＝.答案A4．(·江西盟校二联)在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝()．A．8B．15(＋1)C．15(－1)D．15(1－)解析 a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·广州综合测试)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．解析因为an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.答案76．(·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.解析 2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)在各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4， a4＝6，∴q＝2或q＝－3. 等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.8．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．思维启迪：(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．(2)由cn求an再求bn.(1)证明 an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝， 首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．分层B级创新能力提升1．(·全国)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()．A．2n－1B.n－1C.n－1D.解析当n＝1时，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，解得3an＝2an＋1，∴＝.又 S1＝2a2，∴a2＝，∴＝，∴{an}从第二项起是以为公比的等比数列，∴an＝∴Sn＝n－1.答案B2．(·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2…＋＋log3a7)的值为()．A.B.C．1D．－解析因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝.log3a1＋log3a2…＋＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2…＋＋log3a7)＝.答案B3．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．解析由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3…，，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，∴Sn＝＋2＋3…＋＋n＝＝1－n， n∈N*，∴≤Sn<1.答案4．(·苏州二模)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析对于①，注...
