第5讲椭圆分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()．A.B.C.D．4解析a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.答案A2．(·东北四校模拟)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()．A.B．(1∞，＋)C．(1,2)D.解析由题意可得，2k－1>2－k>0，即解得1b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()．A.B.C.D.－2解析因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.所以离心率e＝＝，故选B.答案B4．(·嘉兴测试)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是()．A.B.C.∪D.∪解析椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当00，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．解析抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.答案＋＝1三、解答题(共25分)7．(12分)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2.当a＝2b时，求椭圆方程．解 a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又 PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，从而得b2＝1，a2＝4，∴椭圆方程为＋y2＝1.8．(13分)(·广东花都模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，AF2·F1F2＝0，若椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．解(1)由AF2·F1F2＝0，知AF2⊥F1F2， 椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2.设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.设A(x0，y0)，由AF2·F1F2＝0，知x0＝c，∴A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，∴A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x.(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，∴·2c·a＝4.又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.故椭圆方程为＋＝1.分层B级创新能力提升1．(·温州测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点．OA·AF＝0且OA·OF＝OF2，则该椭圆的离心率是()．A.B.C．3－D．3＋解析因为OA·AF＝0，且OA·AF＝OA·(AF－OA)，所以OA·AF＝OA2，所以|OA|＝|OF|＝c，所以|AF|＝c，且∠AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝c＋c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.答案A2.(·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且PQ＝2QF，则椭圆C的离心率等于()．A.B.C.D.解析记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE. |EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，PQ＝2QF，∴＝＝，∴PF′∥QE，∴＝，且PF′⊥PF.又 |QE|＝(圆的半径长)，∴|PF′|＝b.据椭圆的定义知：|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b. PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2，∴2(a2－c2)＋b2＝2ab，∴3b2＝2ab，∴b＝，c＝＝a，＝，∴椭圆的离心率为.答案A3．(·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋...
