234不定积分与导数的关5习题课(六)内容：不定积分的概念及积分方法基本要求:1．理解原函数与不定积分的概念。2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3．掌握不定积分的积分方法.4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分内容与方法精讲:一．原函数与不定积分的概念1.原函数定义：在区间I上，若F'(x)=f(x)(即dF(x)=f(x)dx),称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数。2.原函数存在的条件:若函数f(x)在区间I上连续。则f(x)在区间I上有原函数.不定积分：函数f(x)在区间I上的所有原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作Jf(x)dx=F(x)+Co1)先积分再求导(或微分)[Jf(x)dx]'=f(x)，或d[Jf(x)dx]=f(x)dx2)先求导(或微分)再积分JF'(x)dx=F(x)+C，或JdF(x)=F(x)+C.不定积分的线性性：(1)Jkf(x)dx=kJf(x)dx；(2)J[f(x)土g(x)]dx=Jf(x)dx土Jg(x)dx.二.基本积分公式(略)三.不定积分的方法1.拆项积分法:利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。(关键体现在拆项上，例如：通过有理化;利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段).凑微分要熟练常用的几个凑微分式子:1(2)Jx卩-1f(ax卩-1+b)dx=f(ax卩-i+b)d(ax卩-i+b)(ayH0)；(3(4Jf5x)dx=Jf(lnx)dlnx；xJexf(ex)dx=Jf(ex)dex；(5(6Jf(arctanx)dx=Jf(arctanx)darctanx；1+x2Jf(啦血x)dx=1—x2Jf(arcsinx)darcsinx；(7Jf(sinx)cossmxcosxJf(cosx)sinxdx=-Jf(cosx)dsec2xdx=Jf(tanx)dtanx；(10)Jf(secx)secxtanxdx=Jf(secx)dsecx；(11)J仲x=J響=lnf(x)|+C.f(x)f(x)13-换元积分法：i丁⑶心j/[旅纽財⑵念叶_]多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元:换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换兀含有Ja2—x2x=asint去根号化为有理函数或三角函数有理含有Jx2+a2x=atant含有x=atantx=asect根式换元含有n''ax+bt=Jax+b4.分部积分法:Ju(x)v'(x)dx二u(x)v(x)—u'(x)v(x)d无理函数积分bx-—IRQx,+bx+c)dx+a*IR(ii,Ju2—a2~)dufl>0；t一血盂=晶"+加+<7无理函数积分ax+b,)dxcx+d含I怂^ax+b品用㈤必B三角函数有理式积分17^(sinx,cosx)dxtan壬=t1J^sinr)cossin/1J^cosx)sincosx=t12^(tanx')dxtanx=t1A(sin2x,casx,tanx)必1l：c扌+护十汀根式换元!ax+b含有诂/\cx+d,'ax+bt—1片cx+d式的积分倒代换分母幕次比分子幕次较高1x=一t降低分母幕次主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分•关键是掌握好u(x)与V(x)的选取，原则是v'(x)好找原函数，u(x)的导数简单，积分Ju'(x)v(x)dx积分Ju(x)v'(x)dx容易(至少不难)。要掌握以下几种常见类型的分部积分：或有理函数积分g+bcx+dn=asmx被积函数类型条件u(x)取作V'(x)取作目的幕函数X三角函数正整数次幕幕函数三角函数降低幕次幕函数X指数函数正整数次幕幕函数指数函数降低幕次幕函数X对数函数实数次幕对数函数幕函数去掉对数函数幕函数X反三角函数实数次幕反三角函数幕函数去掉反三角函数指数函数X三角函数u(x)与v'(x)任取，用两次分部积分，出现“打回头”四.几类特殊函数的积分例题精讲f(tan2x)=Jf'(tan2x)dtan2x=Jsec2xdtan2x=当x<0时,F(x)=当x>0时,F(x)==Jsinxdx=-cosx+C11-cosx+C,x<0,x>0.求函数f(x).解：(本题考核导数与积分的关系.给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导)对等式两边同时求导，有f(x)二ex+(x一1)ex二xex.2•若函数f(x)满足f'(tan2x)二sec2x,且f(0)=1，求函数f(x).解：(本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是tan2x,或先将式子f'(tan2x)=sec2x改写为f'(x)=1+x,再两边求积分)对等式两边同时求积分，有=tan2x+2(tan2x)2+C.所以，f(x)=C+x+2x2，由f(0)=1，得C=1，于是f(x)=1+x+2x2.3-设函数f⑷=)sinx,x:0'求不定积分Jf(x)dx.x>0.解：(这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数F(x)=Jf(x)dx.在分界点处应连续)有F(0-)=F(0+)=F(0)，有C=-1+C1，得C1=1+C。4.若f(x)的一个原函数为ln2x，求不定积分解：(尽管这也是考核原函数概念的题目,但是由于在被积函数中出现了一个函数与f(x)的导数f'(x)乘积的形式，因此首先要进行分部积分)1．=(x-1)ex+C,x所5)5.设函数F(x)是f(x)在x>0时的一个原函数，满足f(x)F(x)二xex2(1+x)2,由f(x)的一个原函数为ln2x,即ff(x)dx=ln2x-C,所以f(x)=xx于是，Jxf'(x)dx=xf(x)-ff(x)dx=2lnx-ln2x+C.F(0)=1,F(x)>0.求函数f(x).xex解：(本题还是考核原函数概念•由于在条件f(x)F(x)=中同时出现了f(x)2(1+x)2与F(x)，为方便都统一于F(x)，然后再积分)xexex由F(x)是f(x)的一个原函数及f(x)F(“)二帀页，有卩'(x)F(x)二时显,对上式两边同时求积分,得xexdx一1fxexd(2(1+x)221/xex(1+x)ex,、ex-二-2(m-f1zLx)二帀-ex5)
