1函数的奇偶性、对称性、周期性一函数的奇偶性1函数奇偶性的概念①一般地，设函数ᵅ(ᵆ)的定义域为ᵃ，如果∀ᵆ∈ᵃ，都有−ᵆ∈ᵃ，且ᵅ(−ᵆ)=ᵅ(ᵆ)，那么函数ᵅ(ᵆ)就叫做偶函数.②一般地，设函数ᵅ(ᵆ)的定义域为ᵃ，如果∀ᵆ∈ᵃ，都有−ᵆ∈ᵃ，且ᵅ(−ᵆ)=−ᵅ(ᵆ)，那么函数ᵅ(ᵆ)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域ᵃ是关于原点对称的.2性质①偶函数关于ᵆ轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数ᵅ(ᵆ)定义域内含有0，则ᵅ(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求ᵅ(−ᵆ),看下与ᵅ(ᵆ)的关系：若ᵅ(−ᵆ)=ᵅ(ᵆ)，则ᵆ=ᵅ(ᵆ)是偶函数；若ᵅ(−ᵆ)=−ᵅ(ᵆ)，则ᵆ=ᵅ(ᵆ)是奇函数.2②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于ᵆ轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到ᵅ(1)≠ᵅ(−1)，则排除ᵅ(ᵆ)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数ᵃ(ᵆ)=ᵅ(ᵅ(ᵆ))的奇偶性如下图ᵅ(ᵆ)ᵅ(ᵆ)ᵃ(ᵆ)偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数二函数的周期性1概念对于函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)，如果存在一个不为零的常数ᵄ，使得当ᵆ取定义域内的每一个值时，ᵅ(ᵆ+ᵄ)=ᵅ(ᵆ)都成立，那么把函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)叫做周期函数，常数ᵄ叫做这个函数的周期.2常见的结论①若ᵅ(ᵆ+ᵄ)=ᵅ(ᵆ+ᵄ)，则ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期是ᵄ=ᵄ−ᵄ.②若ᵅ(ᵆ+ᵄ)=−ᵅ(ᵆ)，则ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期是ᵄ=2ᵄ；③若ᵅ(ᵆ+ᵄ)=1ᵅ(ᵆ)，则ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期是ᵄ=2ᵄ.三函数的对称性1函数图象自身的对称关系①轴对称：若ᵅ(ᵆ+ᵄ)=ᵅ(ᵄ−ᵆ),则ᵆ=ᵅ(ᵆ)有对称轴ᵆ=ᵄ+ᵄ2.②中心对称：若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)定义域为ᵄ，且满足条件ᵅ(ᵄ+ᵆ)+ᵅ(ᵄ−ᵆ)=ᵅ(ᵄ,ᵄ,ᵅ为常数)，则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的图象关于点(ᵄ+ᵄ2,ᵅ2)对称.32两个函数图象之间的对称关系①轴对称若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)定义域为ᵄ，则两函数ᵆ=ᵅ(ᵆ+ᵄ)与ᵆ=ᵅ(ᵄ−ᵆ)的图象关于直线ᵆ=ᵄ−ᵄ2对称.特殊地，函数ᵆ=ᵅ(ᵄ+ᵆ)与函数ᵆ=ᵅ(ᵄ−ᵆ)的图象关于直ᵆ=0对称.②中心对称若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)定义域为ᵄ，则两函数ᵆ=ᵅ(ᵄ+ᵆ)与ᵆ=ᵅ−ᵅ(ᵄ−ᵆ)的图象关于点(ᵄ−ᵄ2,ᵅ2)对称.特殊地，函数ᵆ=ᵅ(ᵆ+ᵄ)与函数ᵆ=−ᵅ(ᵄ−ᵆ)图象关于点(ᵄ−ᵄ2,0)对称.3周期性与对称性拓展①若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)同时关于直线ᵆ=ᵄ,ᵆ=ᵄ对称，则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期ᵄ=2|ᵄ−ᵄ|；特殊地，若偶函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的图像关于直线ᵆ=ᵄ对称，则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期ᵄ=2|ᵄ|；②若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)同时关于点(ᵄ,0),(ᵄ,0)对称，则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期ᵄ=2|ᵄ−ᵄ|；③若函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)同时关于直线ᵆ=ᵄ对称，又关于点(ᵄ,0)对称,则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期ᵄ=4|ᵄ−ᵄ|；特殊地，若奇函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的图像关于直线ᵆ=ᵄ对称，则函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的周期ᵄ=4|ᵄ|.4【题型1】函数的奇偶性情况1判断函数的奇偶性【典题1】(多选)(2024·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝xsinx是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数ᵆ=ᵆ2−ᵆᵆ−1是奇函数【答案】BC【详解】对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝xsinx的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数ᵆ=ᵆ2−ᵆᵆ−1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．【典题2】(2024·河南新乡·二模)已知函...
