完全四点形和完全四线形调和性质应用例析作者：何璇摘要本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题,使解题更简洁，拓宽解题思路,提高解题能力。关键词：完全四点（线）形；调和性质；高等几何；初等几何AbstractThepapergivesasimplesummarytoharmonicityofcompletequadrangle(completequadrilateral)inHigherGeometry.Itsmainresearchcontentistofigureoutsomeproblemsincludinggeometricalproving,geometricaldrawingandresearchingthecharactersoftheconicsviatheharmonicityofthecompletequadrangle(completequadrilateral),whichincarnatessomeviewpointsandmethodsinhighergeometry.Accordingly,wecandealwiththeproblemsonelementarygeometrybyusingviewsofmodernisticgeometry,whichcansimplysolveproblems,broadentrainofthoughtandimprovethecapacitytosolveproblems.Keywords:completequadrangle(completequadrilateral);harmonicity;HigherGeometry;ElementaryGeometry1.前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几何图形的射影性质的研究中(参见文[9][11])。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，在其中可以讨论仿射的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质与射影不变量），因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题。而完全四点形和完全四线形的调和性是射影几何的重要不变性，有关平面图形与二次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。它们在射影几何中占有重要地位。不仅如此，它们在初等几何中也有很广泛的应用(参见文[8][10])。2.完全四点（线）形概念简述完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列,如图1,完全四点形中,为对边三点形,、、、、、为对边三点形各边与完全四点形各组对边的交点.则调和共轭线束是以、、为中心的三组线束。即,,。调和共轭点列在完全四点形的六条边、、、、、及对边三点形的三条边、、上，共十二组调和共轭关系(参见文[1])。根据完全四线形与完全四点形的对偶关系,仔细观察图1,可以发现,该图中蕴含着完全四线形,为完全四线形的对顶三线形,由对偶原则可知,在、、三条边上各有一组调和共轭点列：,,,以九个顶点、、、、、、、、为中心,各有一组调和共轭线束。正因为完全四点形与完全四线形可以通过一张图形体现,故而下面的讨论可仅就完全四点形的点线进行。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能够融会贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。3.应用举例3.1几何作图问题3.1.1第四调和点的作法我们知道，一直线上的点偶与成为调和共轭的充要条件是：“和是一个完全四点形的对边点，和是通过第三个对边点的一对对边与的交点”（参见文[1]）。为此，可通过完全四点形的作图来作第四调和点。利用完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何作图中的一些具体应用如下：abdzyxc图1QWSCRPZTDAYXB例1、已知、、三点共线于，在直线上求作点关于、的调和共轭点，有以下几种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。①利用完全四点形和完全四线形的调和性质过点任作一直线，在其上任取异于的两点、，分别连接、；Q、交于点，连接、；、交于点，再连接、；、交于点，则点即为所求。②利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点任作一直线，在其上取两点、分别位于点的两侧，并且、到的距离相等。连与、与相交于点，过点作直线的平行线交、、所在直线于点，则点即为所求（参见文[2]）。③利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点任作一条不与垂直的直线，作线段的垂直平分线与直线相交于点，过不共线三点、、作一圆，交直线于另一点，再作的外角平分线与、、所在直线相交于，则点...
