高考数学热点问题专题练习——函数的对称性与周期性知识归纳及典型例题...VIP免费

函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）faxfaxfx关于xa轴对称（当0a时，恰好就是偶函数）（2）faxfbxfx关于2abx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如faxfbx的等式只需注意两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是,ab的取值保证2abx为所给对称轴即可。例如：fx关于1x轴对称2fxfx，或得到31fxfx均可，只是在求函数值方面，一侧是fx更为方便（3）fxa是偶函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于xa轴对称。①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即fxafxa，要与以下的命题区分：若fx是偶函数，则fxafxa：fx是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有fxafxa②本结论也可通过图像变换来理解，fxa是偶函数，则fxa关于0x轴对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于xa对称。3、中心对称的等价描述：（1）faxfaxfx关于,0a轴对称（当0a时，恰好就是奇函数）（2）faxfbxfx关于,02ab轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如faxfbx的等式同样需注意两点，一是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是,ab的取值保证2abx为所给对称中心即可。例如：fx关于1,0中心对称2fxfx，或得到35fxfx均可，同样在求函数值方面，一侧是fx更为方便（3）fxa是奇函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于,0a轴对称。①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即fxafxa，要与以下的命题区分：若fx是奇函数，则fxafxa：fx是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有fxafxa②本结论也可通过图像变换来理解，fxa是奇函数，则fxa关于0,0中心对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定），所以fx关于,0a对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设fx的定义域为D，若对xD，存在一个非零常数T，有fxTfx，则称函数fx是一个周期函数，称T为fx的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若fx是一个周期函数，则fxTfx，那么2fxTfxTfx，即2T也是fx的一个周期，进而可得：kTkZ也是fx的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，kTkZ也是fx的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数fxC5、函数周期性的判定：（1）fxafxb：可得fx为周期函数，其周期Tba（2）fxafxfx的周期2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2fx...