2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第5节椭圆考点一椭圆的定义、标准方程1．（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.答案：D2．（2013山东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设OP�＝tOE�，求实数t的值．解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知解得a＝，b＝1，因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意得－0，所以t＝2或t＝.(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h，将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，此时x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，所以|AB|＝＝2··.因为点O到直线AB的距离d＝，所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2··＝··|h|.又S△AOB＝，所以··|h|＝.③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④又OP�＝tOE�＝t(OA�＋OB�)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，因为P为椭圆C上一点，所以t22＋2＝1，即＝1.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝.又t>0，所以t＝2或t＝.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝.3．（2011浙江，5分）已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，因tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2. 5＝a2－b2，∴b2＝.答案：C4.(2012安徽，13分)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－(x－c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)．所以|AB|＝·|c－0|＝c.由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝a.由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.5．(2011陕西，12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为(，－)．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．考点二椭圆的简单几何性质1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.B.C.D.解...
