2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题考点直线与圆锥曲线的位置关系1．（2013安徽，13分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．解：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力及运算求解能力．(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4.从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意，知E点坐标为(x0,0)．设D(xD,0)，则AE�＝(x0，－2)，AD�＝(xD，－2)．由AD⊥AE知，AE�·AD�＝0，即xDx0＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG＝＝.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①从而kQG＝－.故直线QG的方程为y＝－.②将②代入椭圆C方程，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0，解得x＝x0，y＝y0.即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．2．（2013北京，14分）直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．解：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、函数与方程的思想，意在考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合能力．(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以|AC|＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．3．（2013湖南，13分）已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．解：本题主要考查椭圆的几何性质、圆的方程、弦长和弦长最值的求解，意在考查考生的计算能力、数据处理能力和转化能力．(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝.所以b＝2＝.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.于是a＝＝＝＝＝.从而ab≤＝＝＝＝2.当且仅当＝，即m＝±时等号成立．故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.4．（2013江西，13分）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．解：本题主要考查利用待定系数法求椭圆的方程，考查直线、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在考查推理论证能力与理性思维能力．(1)因为e＝＝，所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①把①代入＋y2＝1，解得P.直线AD的方程为：y＝x＋1.②①与②联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知＝，解得N.所以MN的斜率为m＝＝＝，则2m－k＝－k＝(定值)．法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝，直线AD的方程为：y...
