数的整除特征知识要点整数是人类最早接触的最简单、最基础的数，因此，也是最早开始研究的数。研究整数的性质及其运算的科学叫数论。数的整除是数论的基础知识，熟悉和掌握有关数的整除概念、性质及其特征，为我们解决整除问题带来了方便。1、整除的概念如果一个自然数a被一个非0自然数b除，余数为0，则称a能被b整除，记作a｜b，如15能被3整除，记作3｜15。2、整除的性质性质1如果数a，b都能被c整除，则（a+b）与（a-b）也能被c整除。性质2如果数a能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除。性质3如果数a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除。性质4如果数a能同时被b，c整除，且b，c互质，则a能被b，c之积整除。1、数的整除特征①任何数都不能被0整除，0能被任何数整除。②任何自然数都能被1整除。③能被2或5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。④能被3或9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。1如123的各位数字之和是1+2+3=6,6能被3整除，不能被9整除，则123能被3整除，不能被9整除。⑤能被4或25整除的数的特征：末两位数能被4或25整除。如7684的末两位是84，84能被4整除，则7684能被4整除，再如7150的末两位是50，,50能被25整除，则7150能被25整除.⑥能被8、125整除的数的特征：末三位数能被8、125整除。⑦一个数能够被11整除的特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数能被11整除，否则这个数不能被11整除。⑧能被7、11、13整除的数的特征：如果一个整数的奇千位数之和与偶千位数的数之和的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除，否则这个数不能被7、11、13整除。延伸：对于没有给出的一些数的整除特征，如6,12,15，……如何判断一个数能否被这些数整除呢，显然6=2×3,12=3×4，……等号右边的两个因数之间除1外没有相同因数，于是可以把一个数能否被6整除转化为同时能被2和3整除，把一个数能否被12整除转化为同时能被3和4整除.2精选例题【例1】：五位数5a13b能被9整除，这个五位数是多少？思路点拨：由一个数能被9整除的特征，应该有9｜（5+a+1+3+b），即要9｜（a+b）。a+b只可能是0，9，18，从而a=0，b=0；a=0，b=9；a=1，b=8；a=2，b=7；a=3，b=6；a=4，b=5；a=5，b=4；a=6，b=3；a=7，b=2；a=8，b=1；a=9，b=0；a=9，b=9。标准答案：这个五位数可以为：50130，5013951138，52137，53136，54135，5513456133,57132,58131,59130，59139活学巧用1、四位数765a能被8整除，求这个四位数是多少？2、五位数50x46y能被11整除，求这个五位数是多少？33、五位数412a9能被7整除，求这个五位数是多少？【例2】：六位数a2519b既是8的倍数，又是9的倍数，求这个六位数是多少？思路点拨：设万位数字为a，个位数字为b，由一个数能被9整除的特征，应该有9｜（a+2+5+1+9+b），即要9｜（17+a+b），a+b的和可为1或者10，可能性较多，本题先从入手，易得b的值为2，再由能被9整除的特征得b的值为8。标准答案：这个六位数是：825192活学巧用1、四位数872x既是3的倍数又是4的倍数，x的值是多少？2、一个五位数3a6b5是75的倍数，且各个数位上的数字均不相同，则这个五位数是多少？43、（培优选做）已经七位数250x34y是44的倍数，求这个七位数。【例3】：在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数尽可能的小。思路点拨：设要求的这个数为865abc，根据题意可知：由能被5整除的特征得知c只能取0或5，又由能被4整除的特征，末两位数是4的倍数知c只能为0，因而b只能取0，2，4，6，8之一，又因3｜865ab0，即3｜（8+6+5+a+b+0），a，b的取值很多，但此题要求这个六位数最小，故a要尽可能的小，a=0时，b=2，满足条件。标准答案：这个六位数为：865020活学巧用1、在123后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数尽可能的大。52、在347后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被2，3，4，5，6整除，且使这个数尽可能的小。3、能同时被1,2,3,4,5,6整除的最小的五位数是多少？【例4】：把三位数3ab接连重复的写下去...
