第二节平面向量的数量积及其应用A组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·晋冀豫三省二调)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为()A.1B.2C.3D.4解析 a=(1,k),b=(2,2),∴a+b=(3,k+2),又 a+b与a共线,∴3×2-(k+2)·2=0,即k=1,故a·b=(1,1)·(2,2)=2+2=4.答案D2.(2015·洛阳市高三统考)设等边△ABC边长为6,若BC=3BE,AD=DC,则BD·AE等于()A.-6B.6C.-18D.18解析令AB=c,AC=b,则BD=BA+AD=-c+b,AE=AB+BE=b+c,BD·AE=·=-b2=-18.答案C3.(2014·郑州模拟)若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是()A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析 a⊥b,∴a·b=0.于是f(x)=(a·b)x2+(|b|2-|a|2)x-a·b=(|b|2-|a|2)x,又 |a|≠|b|,∴|b|2-|a|2≠0.∴f(x)为一次函数且是奇函数.答案A4.(2013·广州模拟)△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,CA在CB方向上的投影为()A.-3B.-C.D.3解析由OA+AB+AC=0得OB=-AC=CA,∴四边形OBAC为平行四边形.又|OA|=|AB|,∴四边形OBAC为边长为2的菱形.∴∠ACB=.∴三角形OAB为正三角形, 外接圆的半径为2,∴CA在CB方向上的投影为|CA|cos=2×=.故选C.答案C一年创新演练5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cosA=acosC,S△ABC=,则BA·AC=________.解析依题意得(3sinB-sinC)cosA=sinAcosC,即3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB>0,于是有cosA=,sinA==,又S△ABC=·bcsinA=bc×=,所以bc=3,BA·AC=bccos(π-A)=-bccosA=-3×=-1.答案-16.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为________;DE·DC的最大值为________.解析法一以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0≤a≤1).所以DE·CB=(1,a)·(1,0)=1,DE·DC=(1,a)·(0,1)=a≤1,故DE·DC的最大值为1.法二DE·CB=(DA+AE)·CB=(CB+AE)·CB=|CB|2+AE·CB, AE⊥CB,∴AE·CB=0.∴DE·CB=12+0=1.DE·DC=(DA+AE)·DC=DA·DC+AE·DC=λ|DC|2(0≤λ≤1),∴DE·DC的最大值为1.答案11B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·郑州市一测)已知函数f(x)=Asin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD+BE)·(BE-CE)的值为()A.-1B.-C.D.2解析注意到函数f(x)的图象关于点C对称,因此C是线段DE的中点,BD+BE=2BC.又BE-CE=BE+EC=BC,且|BC|=T=×=1,因此(BD+BE)·(BE-CE)=2BC2=2.答案D8.(2015·唐山一中高三期中)若a,b,c均为单位向量,a·b=-,c=xa+yb(x,y∈R),则x+y的最大值是()A.2B.C.D.1解析由c·c=(xa+yb)·(xa+yb)=x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3·即(x+y)2≤4,故(x+y)max=2.答案A9.(2014·辽宁大连检测)已知向量a,b满足|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=-2x3+3|a|x2+6a·bx+5在R上单调递减,则向量a,b夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析设向量a,b的夹角为θ,因为f(x)=-2x3+3|a|x2+6a·bx+5,所以f′(x)=-6x2+6|a|x+6a·b,又函数f(x)在R上单调递减,所以f′(x)≤0在R上恒成立,所以Δ=36|a|2-4×(-6)×(6a·b)≤0,解得a·b≤-|a|2,因为a·b=|a||b|cosθ,且|a|=2|b|≠0,所以|a||b|cosθ=|a|2cosθ≤-|a|2,解得cosθ≤-,因为θ∈[0,π],所以向量a,b的夹角θ的取值范围是,故选D.答案D二、解答题10.(2013·山东烟台上学期期中)已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).(1)若a∥b,求tanθ的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.解(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=.(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以1-2sin2θ+4sin2θ=5,从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是sin=-,又由0<θ<π知,<2θ+<,所...