第二节平面向量的数量积及其应用A组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·晋冀豫三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A.1B.2C.3D.4解析 a＝(1，k)，b＝(2，2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又 a＋b与a共线，∴3×2－(k＋2)·2＝0，即k＝1，故a·b＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.答案D2.(2015·洛阳市高三统考)设等边△ABC边长为6，若BC＝3BE，AD＝DC，则BD·AE等于()A.－6B.6C.－18D.18解析令AB＝c，AC＝b，则BD＝BA＋AD＝－c＋b，AE＝AB＋BE＝b＋c，BD·AE＝·＝－b2＝－18.答案C3.(2014·郑州模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析 a⊥b，∴a·b＝0.于是f(x)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又 |a|≠|b|，∴|b|2－|a|2≠0.∴f(x)为一次函数且是奇函数.答案A4.(2013·广州模拟)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，CA在CB方向上的投影为()A.－3B.－C.D.3解析由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，∴四边形OBAC为平行四边形.又|OA|＝|AB|，∴四边形OBAC为边长为2的菱形.∴∠ACB＝.∴三角形OAB为正三角形， 外接圆的半径为2，∴CA在CB方向上的投影为|CA|cos＝2×＝.故选C.答案C一年创新演练5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－16.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________.解析法一以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1).所以DE·CB＝(1，a)·(1，0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.法二DE·CB＝(DA＋AE)·CB＝(CB＋AE)·CB＝|CB|2＋AE·CB， AE⊥CB，∴AE·CB＝0.∴DE·CB＝12＋0＝1.DE·DC＝(DA＋AE)·DC＝DA·DC＋AE·DC＝λ|DC|2(0≤λ≤1)，∴DE·DC的最大值为1.答案11B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·郑州市一测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为()A.－1B.－C.D.2解析注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD＋BE＝2BC.又BE－CE＝BE＋EC＝BC，且|BC|＝T＝×＝1，因此(BD＋BE)·(BE－CE)＝2BC2＝2.答案D8.(2015·唐山一中高三期中)若a，b，c均为单位向量，a·b＝－，c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y的最大值是()A.2B.C.D.1解析由c·c＝(xa＋yb)·(xa＋yb)＝x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3·即(x＋y)2≤4，故(x＋y)max＝2.答案A9.(2014·辽宁大连检测)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.答案D二、解答题10.(2013·山东烟台上学期期中)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.解(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－，又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所...
