第四节数列求和、数列的综合应用A组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·青岛模拟)已知Sn…=++++,若Sm=10,则m=()A.11B.99C.120D.121解析 Sn=(-1)+(-)…++(-)+(-)=-1.∴Sm=-1=10,得m=120.答案C2.(2015·重庆模拟)已知数列{an}:,+,++…,,…++++…,,那么数列{bn}=的前n项和Sn为()A.B.C.D.解析 an===,∴bn===4.故Sn=b1+b2…++bn=4=.答案B3.(2014·广东肇庆模拟)已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确解析设公比为q,由题意得10a2=a4+3a3,则20=2q2+3×2q,q2+3q-10=0,又q>0,∴q=2.又a2=2,∴a1=1,S5==31,故选B.答案B4.(2014·湖南益阳模拟)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn…=+++的结果可化为()A.1-B.1-C.D.解析an=2n-1,设bn==,则Tn=b1+b2…++bn…=+++==.答案C一年创新演练5.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________.解析令x=1,y=n,得f(1)·f(n)=f(n+1),即:an=an+1,=,故an=,Sn==1-∈.答案6.已知数列{an},{cn}满足a1=1,an+1=2an+1,cn=.设数列{cn}的前n项和为Tn,若存在m使得Tn>对任意的n∈N*都成立,则正整数m的最小值为________.解析 an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), a1=1,a1+1=2≠0,∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴an+1=2×2n-1,∴an=2n-1,又cn==,∴Tn====.则=·==1+>1,又Tn>0,∴Tn<Tn+1,n∈N*,即数列{Tn}是递增数列.∴当n=1时,Tn取得最小值,要使得Tn>对任意n∈N*都成立,只需>,由此得m>4.∴正整数m的最小值是5.答案5B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·衡水中学二调)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函数f(x)=sin2x+2cos2,记yn=f(an),则{yn}的前9项和为()A.0B.-9C.9D.1解析 数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*.∴数列{an}是等差数列,a5=,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π, f(x)=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1,∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=sin(2π-2a9)+cos(π-a9)+1+sin2a9+cosa9+1=sin(-2a9)-cosa9+1+sin2a9+cosa9+1=2,同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.又 f(a5)=1,∴数列{yn}的前9项和为9.故选C.答案C8.(2015·济南二模)在数列{an}中,已知a1=1,an+1-an=sin,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2014=()A.1006B.1007C.1008D.1009解析由an+1-an=sin得an+1=an+sin,所以a2=a1+sinπ=1+0=1,a3=a2+sin=1+(-1)=0,a4=a3+sin2π=0+0=0,a5=a4+sin=0+1=1,∴a5=a1,如此继续可得an+4=an(n∈N*),即数列{an}是一个以4为周期的周期数列,又2014=4×503+2,所以S2014=503×(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=503×(1+1+0+0)+1+1=1008,故选C.答案C二、填空题9.(2014·武汉调研试题)等比数列{an}中,q=2,前n项和为Sn,则=________.解析设{an}的首项为a1,则==5.答案5三、解答题10.(2013·广东重点中学联考)已知数列{an},{bn},其中a1=,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n∈N*),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1…++++<恒成立?若存在,求出m的最小值.解(1)因为Sn=n2an(n∈N*),当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1.所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1.所以(n+1)an=(n-1)an-1.即=.又a1=,所以an=···…···a1=···…···=.当n=1时,上式成立.因为b1=2,bn+1=2bn,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n.(2)由(1)知,bn=2n.则1…++++=1…++++=2-.假如存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1…++++<恒成立,即2-<恒成立.由≥2,解得m≥16.所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*...