[大题押题练B组](建议用时:80分钟)1.如图,在△ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若ED=,求角A的大小.解(1)由已知得S△BCD=BC·BD·sinB=,又BC=2,sinB=,∴BD=,cosB=.在△BCD中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=22+2-2×2××=.∴CD=.(2) CD=AD==,在△BCD中,由正弦定理,得=,又∠BDC=2A,得=,解得cosA=,所以A=.2“”.为贯彻激情工作,快乐生活的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X,试写出X的分布列,并求X的数学期望.解(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3=;选手甲答4道题进入决赛的概率为C2··=.∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=+=.(2)依题意,X的可能取值为3,4,5,则有P(X=3)=3+3=;P(X=4)=C2··+C2··=;P(X=5)=C2·2=;因此,分布列是:X345P∴E(X)=3×+4×+5×=.3.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解(1) an=3n-1(n∈N*),∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中, b1+b2+b3=15,∴b2=5,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.设等差数列{bn}的公差为d.∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2, bn>0(n∈N*),∴舍去d=-10,取d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.(2)由(1)知,Tn=3×1+5×3+7×32…++(2n-1)·3n-2+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33…++(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得:-2Tn=3×1+2×3+2×32…++2×3n-1-(2n+1)·3n=3+2(3+32+33…++3n-1)-(2n+1)·3n=3+2×-(2n+1)·3n=3n-(2n+1)·3n=-2n·3n.∴Tn=n·3n.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD∶AD的值.(1)证明因为PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,又BD∩PD=D,故AC⊥平面PBD,又AC⊂平面EAC.所以平面EAC⊥平面PBD.(2)解连接OE,因为PD∥平面EAC,所以PD∥OE,所以OE⊥平面ABCD,又O是BD的中点,故此时E为PB的中点,以点O为坐标原点,射线OA,OB,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.设OB=m,OE=h,则OA=m,A,B(0,m,0),E(0,0,h),AB=(-m,m,0),BE=(0,-m,h),向量n1=(0,1,0)为平面AEC的一个法向量,设平面ABE的一个法向量n2=(x,y,z)则n2·AB=0,且n2·BE=0,即-mx+my=0且-my+hz=0.取x=1,则y=,z=,则n2=,∴cos45°=|cos〈n1,n2〉|===,解得=,故PD∶AD=2h∶2m=h∶m=∶2.5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明,点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.解(1)由e=得=,即a=2c,∴b=c.由右焦点到直线+=1的距离为d=,+=1化为一般式:bx+ay-ab=0得=,解得a=2,b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.与椭圆+=1联立消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-12)=0.由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=. OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴(k2+1)-+m2=0.整理得7m2=12(k2+1),所以O到直线AB的距离d===(为定值).当直线AB斜率不存在时,可求出直线AB方程为x=±,则点O到直...