[大题押题练B组](建议用时：80分钟)1．如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．(1)若△BCD的面积为，求CD的长；(2)若ED＝，求角A的大小．解(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝.∴CD＝.(2) CD＝AD＝＝，在△BCD中，由正弦定理，得＝，又∠BDC＝2A，得＝，解得cosA＝，所以A＝.2“”．为贯彻激情工作，快乐生活的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的数学期望．解(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3＝；选手甲答4道题进入决赛的概率为C2··＝.∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P＝＋＝.(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，则有P(X＝3)＝3＋3＝；P(X＝4)＝C2··＋C2··＝；P(X＝5)＝C2·2＝；因此，分布列是：X345P∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.3．已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解(1) an＝3n－1(n∈N*)，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中， b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．设等差数列{bn}的公差为d.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2， bn>0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.(2)由(1)知，Tn＝3×1＋5×3＋7×32…＋＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)·3n－1，①3Tn＝3×3＋5×32＋7×33…＋＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，②①－②得：－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32…＋＋2×3n－1－(2n＋1)·3n＝3＋2(3＋32＋33…＋＋3n－1)－(2n＋1)·3n＝3＋2×－(2n＋1)·3n＝3n－(2n＋1)·3n＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为45°，求PD∶AD的值．(1)证明因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.所以平面EAC⊥平面PBD.(2)解连接OE，因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，AB＝(－m，m,0)，BE＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)则n2·AB＝0，且n2·BE＝0，即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.取x＝1，则y＝，z＝，则n2＝，∴cos45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明，点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．解(1)由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.由右焦点到直线＋＝1的距离为d＝，＋＝1化为一般式：bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.与椭圆＋＝1联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝. OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(k2＋1)－＋m2＝0.整理得7m2＝12(k2＋1)，所以O到直线AB的距离d＝＝＝(为定值)．当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x＝±，则点O到直...
