第2讲数列通项与求和[做真题]题型一an与Sn关系的应用1．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.答案：－632．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以{}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.答案：－题型二数列求和1．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝__________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，即解得所以Sn＝，因此＝2＝.答案：2．(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.[山东省学习指导意见]能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．能利用数列有关知识解决相应的问题．(求通项公式、求和、解实际问题)Sn，an关系的应用[典型例题](1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2019＝()A．－22019－1B．32019－6C．－D．－(2)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则＝________．(3)(一题多解)(2019·济南市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．【解析】(1)因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3⇒a1＝－3.当n≥2时，3Sn＝2an－3n，3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，则a2019＝－22019－1.(2)由题意可知nan＋1＋2anan＋1＝(n＋1)an，两边同除以anan＋1，得－＝2，又＝，所以是以为首项，2为公差的等差数列，所以＝n＋n(n－1)×2＝n2－n.(3)法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)①，知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3②，②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．两边同时除以2n＋1可得＝·＋(n≥2)，令bn＝，可得bn＋1＝·bn＋(n≥2)．所以bn＋1＋1＝(bn＋1)(n≥2)，数列{bn＋1}是以b2＋1＝为首项，为公比的等比数列．所以bn＋1＝·(n≥2)，所以bn＝·－1(n≥2)．*又b1＝－也满足*式，所以bn＝·－1(n∈N*)，又bn＝，所以an＝2nbn，即an＝3n－1－2n.所以a4＝33－24＝11.法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，知S2＝3S1＋4－3，所以a2＝－1.S3＝3S2＋8－3，所以a3＝1.S4＝3S3＋16－3，所以a4＝11.【答案】(1)A(2)n2－n(3)11(1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：...
