高考数学二轮复习 第二部分 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法练典型习题 提数学素养（含解析）试题VIP专享VIP免费

第3讲立体几何中的向量方法[A组夯基保分专练]1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角DBEB1的余弦值．解：(1)证明：因为AB＝BC＝CA，D是AC的中点，所以BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，所以BD⊥平面AA1C1C，所以BD⊥AE.又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，所以A1D⊥AE.又A1D∩BD＝D，所以AE⊥平面A1BD.(2)以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线，以该垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(－1，－1，0)，B(0，0，)，B1(0，－2，)，DB＝(0，0，)，DE＝(－1，－1，0)，BB1＝(0，－2，0)，EB1＝(1，－1，)，设平面DBE的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，则m＝(1，－1，0)，设平面BB1E的法向量为n＝(a，b，c)，则，即，令c＝，则n＝(－3，0，)，设二面角DBEB1的平面角为θ，观察可知θ为钝角，因为cos〈m，n〉＝＝，所以cosθ＝，故二面角DBEB1的余弦值为.2．(2019·成都第一次诊断性检测)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．(1)证明：PA∥平面BMD；(2)当PA＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，连接MO.因为M，O分别为PC，AC的中点，所以PA∥MO.因为PA⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，所以PA∥平面BMD.(2)如图2，取线段BC的中点H，连接AH.因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，所以AH⊥AD.以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，P(0，0，)，M，所以AM＝(，，)，BC＝(0，2，0)，PC＝(，1，－)．设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，由得，取z＝1，m＝(1，0，1)．设直线AM与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈m，AM〉|＝＝＝.所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.3．(2019·高考天津卷)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长．解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)．(1)证明：依题意，AB＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又BF＝(0，2，h)，可得BF·AB＝0，又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.(2)依题意，BD＝(－1，1，0)，BE＝(－1，0，2)，CE＝(－1，－2，2)．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1)．因此有cos〈CE，n〉＝＝－.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m＝(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y＝1，可得m＝(1，1，－)．由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝，经检验，符合题意．所以，线段CF的长为.4．(2019·东北四市联合体模拟(一))如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求二面角APEC的余弦值．解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，因为AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABCE为平行四边形，所以AE＝BC＝AD＝DE，所以△ADE为等边三角形，所以在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，所以BD⊥AE.翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，所以AE⊥平面POB，因为PB⊂平面POB，所以AE⊥PB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，所以OP⊥平面ABCE.以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，P，E，C，所以PE＝，EC＝，设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)，则，即，设x＝，则y＝－1，z＝1，所以n1＝(，－1，1)为平面PCE的一个法向量，易知平面PAE的一个法向量为n2＝(0，1，0)，cos〈n1，n2〉...