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高考数学二轮复习 第二部分 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法练典型习题 提数学素养(含解析)试题VIP免费

高考数学二轮复习 第二部分 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法练典型习题 提数学素养(含解析)试题_第1页
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第3讲立体几何中的向量方法[A组夯基保分专练]1.(2019·重庆市七校联合考试)如图,三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:AE⊥平面A1BD;(2)求二面角DBEB1的余弦值.解:(1)证明:因为AB=BC=CA,D是AC的中点,所以BD⊥AC,因为AA1⊥平面ABC,所以平面AA1C1C⊥平面ABC,所以BD⊥平面AA1C1C,所以BD⊥AE.又在正方形AA1C1C中,D,E分别是AC,CC1的中点,所以A1D⊥AE.又A1D∩BD=D,所以AE⊥平面A1BD.(2)以DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线,以该垂线为y轴,DB所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(-1,-1,0),B(0,0,),B1(0,-2,),DB=(0,0,),DE=(-1,-1,0),BB1=(0,-2,0),EB1=(1,-1,),设平面DBE的法向量为m=(x,y,z),则,即,令x=1,则m=(1,-1,0),设平面BB1E的法向量为n=(a,b,c),则,即,令c=,则n=(-3,0,),设二面角DBEB1的平面角为θ,观察可知θ为钝角,因为cos〈m,n〉==,所以cosθ=,故二面角DBEB1的余弦值为.2.(2019·成都第一次诊断性检测)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.(1)证明:PA∥平面BMD;(2)当PA=时,求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.解:(1)证明:如图1,连接AC交BD于点O,连接MO.因为M,O分别为PC,AC的中点,所以PA∥MO.因为PA⊄平面BMD,MO⊂平面BMD,所以PA∥平面BMD.(2)如图2,取线段BC的中点H,连接AH.因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=,所以AH⊥AD.以A为坐标原点,分别以AH,AD,AP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),P(0,0,),M,所以AM=(,,),BC=(0,2,0),PC=(,1,-).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由得,取z=1,m=(1,0,1).设直线AM与平面PBC所成角为θ,则sinθ=|cos〈m,AM〉|===.所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.3.(2019·高考天津卷)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角EBDF的余弦值为,求线段CF的长.解:依题意,可以建立以A为原点,分别以AB,AD,AE的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).(1)证明:依题意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.(2)依题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos〈CE,n〉==-.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则即不妨令y=1,可得m=(1,1,-).由题意,有|cos〈m,n〉|===,解得h=,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为.4.(2019·东北四市联合体模拟(一))如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD的中点,将△ADE沿AE折到△APE的位置.(1)证明:AE⊥PB;(2)当四棱锥PABCE的体积最大时,求二面角APEC的余弦值.解:(1)证明:在等腰梯形ABCD中,连接BD,交AE于点O,因为AB∥CE,AB=CE,所以四边形ABCE为平行四边形,所以AE=BC=AD=DE,所以△ADE为等边三角形,所以在等腰梯形ABCD中,∠C=∠ADE=,BD⊥BC,所以BD⊥AE.翻折后可得OP⊥AE,OB⊥AE,又OP⊂平面POB,OB⊂平面POB,OP∩OB=O,所以AE⊥平面POB,因为PB⊂平面POB,所以AE⊥PB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时,平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO⊂平面PAE,PO⊥AE,所以OP⊥平面ABCE.以O为坐标原点,OE所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,由题意得,P,E,C,所以PE=,EC=,设平面PCE的法向量为n1=(x,y,z),则,即,设x=,则y=-1,z=1,所以n1=(,-1,1)为平面PCE的一个法向量,易知平面PAE的一个法向量为n2=(0,1,0),cos〈n1,n2〉...

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