第3讲复数与平面向量一、选择题1．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为()A．－B．C．iD．－i解析：选B.因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝()A．－B．C．1或－D．1或解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－B．－C．D．解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB＝4EC，则ED＝()A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋AC解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足EB＝4EC，所以BD＝BA，EB＝CB，所以ED＝EB＋BD＝CB＋BA＝(CA＋AB)－AB＝AB－AC，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A．B．C．2D．解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.6．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为()A．1B．C．D．解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝＝，故选B.8．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则AE·DE的最小值为()A．12B．15C．17D．16解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以AE·DE＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，AE·DE取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB·(AC＋AE)＝()A．8B．12C．16D．20解析：选D.法一：设AB＝a，AD＝b，则a·b＝0，a2＝16，AC＝AD＋DC＝b＋a，AE＝(AC＋AB)＝＝a＋b，所以AB·(AC＋AE)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D.法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以AB·(AC＋AE)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D.10．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．－1B．＋1C．2D．2－解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝－1.故选A.法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝OB，e＝OE，3e＝OF，所以b－e＝EB，b－3e＝FB，所以EB·FB＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝OA，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA|－|BC|≥－1.故选A.11．(多选)下列命题正确的是()A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是...
