高三数学（理）椭圆知识精讲人教版【本讲教育信息】一.教学内容：椭圆二.本周教学重难点：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程，了解椭圆的初步应用。【典型例题】[例1]已知A、B是椭圆上的点，是右焦点且，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程。解：如图，设为左焦点，连结、，则根据椭圆定义有再设A、B、N三点到左准线距离分别为、、由梯形中位线定理，有而已知∴∴得离心率 ，∴∴，则椭圆方程为用心爱心专心116号编辑[例2]设椭圆的两焦点为、，若在椭圆上存在一点P，使，求椭圆的离心率的取值范围。解：方法一：如图所示，设、、则，， ∴∴即据题意，知P点在椭圆上，但不在x轴上∴∴于是，即∴方法二：设 ∴又O为的中点∴∴即∴ ∴∴方法三： ∴用心爱心专心116号编辑∴P点在以为直径的圆上，又P点在椭圆上∴圆与椭圆有公共点由图知，即∴∴[例3]已知A、B、D三点不在一条直线上，且，，，，（1）求E点的轨迹方程；（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程。解：（1） ∴E为BD中点，设E（x，y），则 ∴，即又 A、B、D三点不共线∴故E点的轨迹方程为（2）依题设，直线MN与圆相切，设切点为Q，坐标原点为O，则为直角三角形。 ∴∴根据对称性，不妨设，则直线的方程为 线段MN的中点到y轴的距离为∴中点坐标为（）∴由用心爱心专心116号编辑整理后得∴∴又 ∴故所求椭圆方程为[例4]已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE和OF的交点，如图，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。解：按题意有设由此有直线OF的方程为①直线GE的方程为②从①②消去参数，得点P（x，y）坐标满足方程整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值当时，点P到椭圆两个焦点（0，），（0，）的距离之和为定值。[例5]如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等。（1）适当建立坐标系，求曲线DE的方程；（2）过C点能否作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，如用心爱心专心116号编辑果能，请求出弦所在直线的方程。解：（1）取AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由题意曲线DE为一段椭圆弧，得，∴∴曲线DE的方程为（2）方法一：C点坐标为C（）设存在直线与曲线ED交于点M（），N（），∴∴，∴∴直线的方程为即将直线方程代入曲线DE的方程，得解得，M（），N（）（M，N在曲线上）∴存在直线，其方程为方法二：取曲线DE与y轴的交点M（0，）和与x轴的交点N（4，0），显然C（2，）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为，即[例6]已知椭圆（）与直线相交于A，B两点，椭圆离心率为。（1）当椭圆的右准线为时，求AB的长度及AB中点的坐标；（2）当，并且时，求椭圆长轴长的取值范围。解：（1）设A（）B（）由已知得，，解得∴椭圆方程为用心爱心专心116号编辑由∴∴，∴由得AB中点横坐标为，代入直线方程得AB中点的纵坐标为，即AB中点坐标为（）（2）由消去y得∴即（*）此时，①由，得又∴②将①代入②：由得代入上式整理得由已知得∴满足（*）条件∴[例7]如图，已知椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）点P在直线上运动，求的最大值。用心爱心专心116号编辑解：（1）设椭圆方程为半焦距为，则，由题意得∴∴（2）设P（），，则直线的斜率则直线的斜率 ∴为锐角∴当，即时，取到最大值此时最大∴的最大值为【模拟试题】一.选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.若方程表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（）A.B.mC.且D.且3.已知，，动点P满足（且为常数），则P点的轨迹是...
