高三数学高考复习：空间向量与立体几何复习指津（理）VIP免费

空间向量与立体几何复习指津在引入空间向量后，许多空间问题（如空间角、空间距离等）的求解，已经从传统的“作———证———算”转化为，将所求问题表示为向量的闭回路（课本称为“封口向量”），然后利用数量积求解，即已从传统意义上的几何方法转向以空间向量为媒介的代数运算．特别是法向量的应用，更是大大拓展了求解空间问题的思路！现对《空间向量与立体几何》一章予以简单梳理，供同学们复习参考．高.考-资.源-网一、空间向量的线性运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即(a()()a+bcab+c；③分配律，即()a=a+a及()a+bab（其中，均为实数）．3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量，ab(0)，bab∥的充要条件是存在实数，使a=b．（２）共面向量定理：如果空间向量，ab不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数xy，，使c=xya+b．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使xyzp=a+b+c．其中{}，，abc是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{}，，abc惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是cos，ab=abab，数量积有如下性质：①cos，ae=aae（e为单位向量）；②0abab=⊥；③2aa=a；④abab≤．数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即()()ab=ab；③分配律，即()a+bc=ac+bc．二、空间向量的直角坐标运算1．空间直角坐标系用心爱心专心若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{}，，ijk表示；在空间选定一点O和一个单位正交基底{}，，ijk，可建立一个空间直角坐标系Oxyz，作空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）．2．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使123aaaa=i+j+k，则123()aaa，，叫作向量a在空间的坐标，记作123()aaa，，a=．对空间任一点A，存在惟一的OAxyz�i+j+k，点Ａ的坐标，记作()Axyzxyz，，，，，分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律（1）若123123()()aaabbb，，，，，a=b=，则a+b112233()ababab，，，ab112233()ababab，，，123()aaa，，a，112233()ababab，，ab=，112233()abababR，，ab∥，1122330abababab⊥．（2）若111222()()AxyzBxyz，，，，，，则212121()ABxxyyzz�，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．4．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OA�a，则点A在空间的位置被a所惟一确定，a称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量APt�a，则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程，向量a称为直线l的方向向量．三、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作a⊥），向量a叫做平面的法向量．法向量有两个相反的方向．法向量的具体应用方法，可以归结为：1．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决（１）设a、b分别为直线ab，...