活跃在高考中的长方体问题长方体是立体几何中最常见的几何体，正方体是长方体的特例，立体几何中许多概念、定理都可以用长方体中的点、线、面的关系说明，故也成为高考中考查立体几何知识的主要载体，下面将其在立体几何题中的几种应用加以分类说明．一、利用正方体验证命题的正确性例1设，为两个不同的平面，lm，为两条不同的直线，且lm，，有如下的两个命题：①若∥，则lm∥；②若l⊥m，则⊥．那么（）.（A）①是真命题，②是假命题（B）①是假命题，②是真命题（C）①②都是真命题（D）①②都是假命题解析：运用正方体模型，上、下底面分别为，，分别取上、下底面的边为lm，，易知∥，则lm∥或l与m异面；若lm⊥，可以是异面垂直，则与可能平行．故①②都是假命题，选（D）．点评：运用正方体（或长方体）构造反例否定命题，显得十分方便．二、构造正方体模型解题例2如图１，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解析：如图2，将此多面体补成正方体111DBCADBCP，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在RtPDB△中，tan2PDDBPDB．故填2．点评：依据本题中棱锥的特点，将其补成如图2所示的正方体，从而把线面关系问题转化到正方体中解决，将抽象的问题具体化．用心爱心专心三、求解长方体中有关元素间的夹角例3如图3，长方体1111ABCDABCD中，121AAABAD，，点EFG，，分别是11DDABCC，，的中点，则异面直线1AE与GF所成的角是（）A．15arccos5B．C．10arccos5D．解析：连结11BGBF，，则11AEBG∥，知1BGF就是异面直线1AE与GF所成的角．在1BCF△中，由余弦定理，得2221111cos2BGGFBFBGFBGGF222(2)(3)(5)0223，故1BGF，应选（D）．点评：本题是以长方体为载体，求异面直线所成的角．此类题是运用平移法加以解决．四、计算与正方体有关的体积及表面积例4有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图4所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面的各个中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4B．5C．6D．7分析：本题初看觉得较难，其实只要做出形式转换，将文字语言转换成符号语言，即SSSS下侧表上，这可是使问题顺利解决．解：由题意，得SSSS下侧表上，显然SS上下，即222231412224[2(2)12]8439112nnS表，从而解得n的最小值为6．故选（C）．用心爱心专心点评：本题中求组合体的表面积之和关键有两点：①SS上下，②侧面积成公比为12的等比数列．用心爱心专心
