高三数学锥曲线中焦三角面积公式的应用VIP免费

圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。焦三角的面积只与b和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。假设这个视角为，F1、F2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b2tan,在双曲线里焦三角的面积S=b2cot。下面我们给出证明：若P是椭圆（a>b>0）上一点，F1、F2是两个焦点，设|PF1|=r1,|PF2|=r2,三角形PF1F2的面积为S，则S=……（1）在三角形PF1F2中，由余弦定理（2c）2=,……(2)又r1+r2=2a,……(3)代入（2）得：4c2=4a2-∴r1r2=代入（1）中可得S=b2tan，同理可得双曲线中焦三角的面积S=b2cot。在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。例1（2004年高考福州）已知P是椭圆的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=600，则△PF1F2的面积是___________。由椭圆的焦三角面积公式，这里=600，=300得△PF1F2的面积是。例2.双曲线的两个焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为，则△PF1F2的面积为（）A.16B.32C.32D.42解：由三角形外角性质可得∠F1PF2=，即=，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b2cot=16cot=16,故选A。例3.在椭圆上求一点P，使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。解：由椭圆的焦三角面积公式，其中=，S=b2cot=20=·2c·|y0|.∴|y0|=4.其中c=5,y0是点P的纵坐标，将|y0|=4代入椭圆方程得|x0|=3，故P点的坐标为（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）。用心爱心专心例4.（2004年高考湖南）F1、F2是椭圆C：的两个焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点的个数是_________.解：同上题可得|y0|=2=b.故满足条件PF1⊥PF2的点的个数为2。例5.（2000年天津、江西高考）F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为其上的动点。当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________.解：先求出当∠F1PF2为直角时点P的横坐标，与例3解法可得|x0|=，故点P的横坐标的取值范围是-