高三数学解题方法谈：复数与平行四边形家族VIP免费

复数与平行四边形家族菱形、矩形等特殊的平面四边图形与某些复数式之间存在某种联系，复数的几何意义架起了“形”与“数”相互转化的桥梁．下面略举几例，以供参考．高*考*资+源-网友情提示：若复数izab，则22zab称为z的模，它在复数中有广泛的应用．一、复数式与矩形例1复数12zz，满足1212120zzzzzz，，证明：21220zz．证明：设复数12zz，在复平面上对应的点为12ZZ，，由1212zzzz知，以12OZOZ�，为邻边的平行四边形为矩形，12OZOZ�⊥，可设12i(0)zkkkzR，，所以2222122i0zkkz．例2已知复数12zz，满足127171zz，，且124zz，求12zz与12zz的值．解：设复数12zz，在复平面上对应的点为12ZZ，，由于222(71)(71)4，故2221212zzzz，故以12OZOZ�，为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZOZ�⊥，则127147ii371zz；12124zzzz．例3已知复数12zz，满足121zz，且122zz，求证：122zz．证明：设复数12zz，在复平面上对应的点为12ZZ，，由条件知121222zzzz，以12OZOZ�，为邻边的平行四边形为正方形，而12zz在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122zz．点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义．复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．二、复数式与菱形例4已知12121213zzzzzzC，，，，求12zz．用心爱心专心解：设复数1212zzzz，，在复平面上对应的点分别为12ZZZ，，，由121zz知，以12OZOZ�，为邻边的平行四边形是菱形，在1OZZ△中，由余弦定理，得22212121121cos22zzzzOZZzz，11212060OZZZOZ，，因此，12OZZ△是正三角形．12121zzZZ�．点评：本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理，使得问题解决的很巧妙，其中例1～例4均可用22221212122()zzzzzz处理．例5求使2222(0)zaaza为纯虚数的充要条件．解：∵2222zaza是纯虚数，∴可设2222i(0)zazaR，，将其改写为1212i(0)zzzzR，．设复数22za，在复平面上对应的点为12ZZ，，以12OZOZ�，为邻边的平行四边形是菱形，∴22zaza，，考虑到za时，22220zaza；iza时，2222zaza无意义，故使2222(0)zaaza为纯虚数的充要条件是za，且izaza，，即z是模为a的虚数（非纯虚数）．点评：复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．用心爱心专心