高三数学第一轮复习：圆锥曲线的综合应用知识精讲VIP免费

高三数学第一轮复习：圆锥曲线的综合应用【本讲主要内容】圆锥曲线的综合应用直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的定义、性质，与其它知识的联系【知识掌握】【知识点精析】1、直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况讨论。（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据来讨论。（2）若方程组消元后得到一个一元一次方程，则直线与圆锥曲线相交于一个公共点。值得注意的是，直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线；双曲线与平行于渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是相交。说明：在研究直线和圆锥曲线交点个数问题时，不要仅由来进行判断，一定要注意平方项的系数对交点个数的影响。（3）直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决。2、弦长公式：设弦端点坐标为，直线的斜率为，则或。说明：涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法较为简单。3、二次曲线求最值的方法：（1）代数法：列出函数式，利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解。几何法：利用二次曲线的几何性质结合图形迅速求解。说明：解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答，解题时要特别重视对数学思想方法的运用。要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线的范围，求几何极值等。应用韦达定理，可以解相交时的弦长问题，弦的中点问题，与线段的和与积有关的定值或最值问题。【解题方法指导】例1、讨论表示的曲线。［解析］（1）当m<3时，，曲线为焦点在轴上的双曲线；（2）当时，方程为，两条平行于轴的直线；（3）当时，，曲线为椭圆型，若时，则，，曲线为焦点在轴上的椭圆；若时，曲线为圆；若时，曲线为焦点在轴上的椭圆；（4）当时，，两条平行于轴的直线；（5）当时，曲线为焦点在轴上的双曲线。评述：本题考查参数取值范围对曲线形状的影响，一般情况下按的系数为0的情况分类讨论。例2、已知抛物线方程为，点及均在抛物线上，且直线的倾斜角互补，求证直线的斜率为定值。［解析］将代入抛物线方程得，∴抛物线方程为。设直线方程为，则直线方程为，把它们分别代入方程得和。设，则，为定值。评述：本题考查定值问题。一般解决定点、定值问题，常用方法有两种：①从特殊入手，求含变量定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关；②直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。例3、如图，某农场在处有一堆肥料，今要把这堆肥料沿道路或送到庄稼地中去，已知，，能否在庄稼地中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路送肥较近，而另一侧的点，沿道路送肥较近，如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程。［解析］庄稼地中的点可分为三大类：第一类沿送肥较近；第二类沿送肥较近，第三类沿或送肥一样远近。由题设知，界线是第三类点的轨迹。设是界线上的任一点，则，即（定值），故所求界线是以为焦点的双曲线的一支。以直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则所求的双曲线方程为，其中a=25，2c=|AB|，即，∴所求的双曲线方程为。评述：解决与圆锥曲线有关的应用问题的关键是建立坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性的分析与判断。【考点突破】【考点指要】圆锥曲线的综合应用是历年高考命题的热点，每年都要考，考点中要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的几何性质，三类曲线和直线的位置关系。椭圆、双曲线、抛物线的定义是每年的必考内容，多出现在选择题和填空题，分值大约是9～10分；直线和圆锥曲线的位置关系，出现在综合题中，分值大约12～13分，考查综合能力的应用，近几年常与平面向量知识相综合，体现了较强的综合性。在选择题、填空题中...