第9章第8节一、选择题1．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案]B[解析]本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(，)，∴＝2，①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)⇒＝＝，∴kAB＝1＝⇒p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.2．过点(0，－)的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA·OB的值为()A．－B．－C．－4D．无法确定[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，∴∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)＝(k2＋1)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－(k2＋1)－k(－k)＋＝－.3．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()A．x2＋y2＝1B．x2－y2＝1C．y2＝4xD．x＝0[答案]C[解析]动点到(1,0)和直线x＝－1的距离相等，所以其轨迹方程为y2＝4x.4．已知动点P(x，y)满足10＝|3x＋4y|，则P点的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两相交直线[答案]A[解析]条件化为2＝，即为点P(x，y)到定点F(1,2)的距离与到定直线l3x＋4y＝0的距离之比为，又点F不在直线l上，故根据椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆．5．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定[答案]A[解析]直线y＝k(x－1)＋1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交．6．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4[答案]C[解析]根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，用心爱心专心1 椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2，故选C.7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案]C[解析] 渐近线l1：y＝x与过焦点F的直线l平行，或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支交于一个点．∴≥，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2，故选C.8．(2010·重庆理)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线[答案]D[解析]如图所示，设两异面直线为m，n过n上任一点O，作m的平行线m′，设m′与n确定的平面为α，以O为原点，m′，n分别为x轴，y轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M(x，y)，令m到平面α的距离为d，由题意|x|2＋d2＝|y|2即y2－x2＝d2故轨迹为双曲线．二、填空题9．已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦，且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．[答案]x2＋y2＝16[解析]设BC中点为P(x，y)，则OP⊥BC， |OC|＝5，|PC|＝3，∴|OP|＝4，∴x2＋y2＝16.10．点P在以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1上运动，则△PF1F2的重心G的轨迹方程是________．[答案]＋＝1(x≠0)[解析]F1(0，－1)、F2(0,1)，设P(x0，y0)，G(x，y)， G为△PF1F2的重心，∴，∴，代入＋＝1中得＋＝1构成三角形时，三点P、F1、F2不共线，∴x≠0.用心爱心专心211．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________．[答案]2x－y－15＝0[解析]解法1：经分析知k一定存在，设直线方程为y－1＝k(x－8),∴y＝k(x－8)＋1，代入x2－4y2＝4中，整理得(1－4k2)x2＋(64k2－8k)x－256k2＋64k－8＝0.x1＋x2＝＝16，即＝2，∴k＝2，∴所求方程为2x－y－15＝0.解法2：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)则x12－4y12＝4，(1)x22－4y22＝4，(2)(1)－(2)得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2.∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.[点评]用“点差法”解决圆锥曲线中点弦等有关问题较为方便，注意进行总结...
