第9章第7节一、选择题1．(2010·安徽理)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D．(，0)[答案]C[解析]将方程化为标准方程x2－＝1∴c2＝1＋＝，∴c＝，故选C.2．(2010·全国卷Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力．在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝＝＝＋1＝＋1，故|PF1|·|PF2|＝4.3．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|等于()A.B．2C.D．2[答案]B[解析]由题意知：F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2. PF1·PF2＝0，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝40∴(PF1＋PF2)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2PF1·PF2＝40∴|PF1＋PF2|＝2.4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D.[答案]A[解析] 曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m<0，排除C、D；将m＝－代入已知方程，变为y2－＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.5．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.[答案]B[解析] |AF1|－|AF2|＝2a，|AF1|＝3|AF2|，∴|AF|1＝3a，|AF2|＝a，且|F1F2|＝2c.∴Rt△AF1F2中(3a)2＋a2＝(2c)2用心爱心专心1∴5a2＝2c2，∴e＝＝.6．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，点P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB.(m－a)C．m2－a2D.－[答案]A[解析]由题意|PF1|＋|PF2|＝2，||PF1|－|PF2||＝2，两式平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝m－a.7．(2010·辽宁理)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.[答案]D[解析]如图，设双曲线方程为－＝1，∴F点坐标为(，0)，B点坐标为(0，b)，渐近线方程为y＝±x，∴kBF·＝－1，即·＝－1，∴a＝b2，即ac＝c2－a2，2－－1＝0，即e2－e－1＝0，∴e＝或e＝(舍去)．∴e＝，故选D.8．点P是双曲线－y2＝1的右支上一点，M、N分别是(x＋)2＋y2＝1和(x－)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是()A．2B．4C．6D．8[答案]C[解析]如图，当点P、M、N在如图所示位置时，|PM|－|PN|可取得最大值，注意到两圆圆心为双曲线两焦点，故|PM|－|PN|＝(|PF1|＋|F1M|)－(|PF2|－|F2N|)＝|PF1|－|PF2|＋|F1M|＋|F2N|＝2a＋2＝6.二、填空题9．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点(，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案][解析] (＋c)(c－)＝32.∴c＝b，a＝＝b，e＝＝＝.10．(2010·江西理)点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝________.[答案]2用心爱心专心2[解析]由－＝1知a2＝4，b2＝32，∴c2＝a2＋b2＝36，∴c＝6.∴右焦点为(6,0)，则由题意得解得x0＝或x0＝2. 点A在双曲线的右支上，∴x0≥2，∴x0＝2.11．在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率是________．[分析]先根据余弦定理用AB、BC表示AC，再根据双曲线的定义和离心率的概念求解．[答案][解析]设AB＝2c(c>0)，则BC＝4c，根据余弦定理AC＝＝2c，根据双曲线定义，2a＝AC－BC＝2c－4c，故该双曲线的离心率为＝＝＝＝.三、解答题12．求下列双曲线方程(1)虚轴长为12，离心率为.(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)．[解析](1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为－＝1，(a>0，b>0)．由题意，得解得b＝6，c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2＝36，a＝8.∴焦点在x轴上的双曲线的方程为－＝1.同理，可求焦点在y轴上的双曲线的方程为－＝1.因此，双曲线的方程为－＝1和－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.即：－＝1.13．已知点A(－，0)和点B(，0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D、E两点，求线段DE的长．[分析]求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析]设点C...
