第9章第6节一、选择题1．(2010·湖南文)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12[答案]B[解析]本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.2．(2010·陕西理)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4[答案]C[解析]抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－.又圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16.则－＝－1，∴p＝2.3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB与x轴垂直时，x1＋x2＝2，与y轴垂直时，只一个交点，故AB不与两轴垂直，设过焦点F(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，则k≠0.由消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝＝5，解得k＝±.4．(2009·天津理)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝()A.B.C.D.[答案]A[解析]本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |BF|＝2，∴＋x2＝2，∴x2＝，∴B(，－)，(取y2＜0)又AB过M(，0)点，∴AB所在直线方程为y＝2(2＋)(x－)．代入y2＝2x得x1＝2，又C点横坐标为－.∴＝＝＝.故选A.5．(2009·全国Ⅱ理)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.[答案]D用心爱心专心1[解析]本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力、运算能力．设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由，消去y得k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝4.由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又 |AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x22＋x2－2＝0，∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，∴＝5，∴k2＝， k>0，∴k＝.6．(2008·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.B.C．(1,2)D．(1，－2)[答案]A[解析]如图，求|PQ|＋|PF|的最小值即求|PA|＋|PQ|的最小值(PA⊥l)，当A、P、Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，此时P，故选A.7．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则ΔAKF的面积是()A．4B．3C．4D．8[答案]C[解析]如图所示，抛物线方程为y2＝4x，∴F(1,0)，F1(－1,0)，根据抛物线的定义，AK＝AF，又∠AFx＝60°，∴ΔAKF是等边三角形，由F作FM⊥AK于M，则有MK＝2，∴等边三角形边长为4，∴S△AKF＝×42＝4.8．对于任意n∈N*，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2012B2012|的值是()A.B.C.D.[答案]C[解析]设An(xn,0)，Bn(x′n,0)，则xn＋x′n＝，xnx′n＝，|AnBn|＝|xn－x′n|＝＝＝＝＝－，∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝＋＋…＋＝1－＝，∴当n＝2012时，结果为.[点评]由条件知An、Bn的横坐标x1、x2是方程(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0的两根，用心爱心专心2∴x1＝，x2＝，∴|x1－x2|＝－.二、填空题9．(2010·重庆理)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF＝3FB，则弦AB的中点到准线的距离为________．[答案][解析]如右图，设|AF|＝m，|FB|＝n，由＋＝得＋＝1，即＋＝1，∴n＝，∴AB中点到准线的距离d＝＝＝.10．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是______米．[答案]4[解析]设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，水面升高1米时，即y＝－1时，x＝±2则水面宽为4米．11．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．[答案](1,1)[解析]解法1设P点坐标为(x0，x02)，由点到直线的距离公式得d＝＝|x02－2x0＋4|＝|(x0－1)2＋3|≥.由...
