第9章第5节一、选择题1．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则该椭圆的离心率为()A．2B.C.D.[答案]B[解析]由椭圆定义知2a＝3＋1＝4，故a＝2.∴m2＝a2＝4，b2＝m2－1＝3.∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1.∴e＝.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.[答案]B[解析]由选项知e与m无关，令m＝6，则a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴e＝＝.一般解法：2x2＋3y2＝m(m>0)化为＋＝1，∴c2＝－＝.∴e2＝.故选B.3．(2008·江西)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B．(0，]C．(0，)D．[，1)[答案]C[解析]依题意得，c
b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.－1[答案]D[解析]连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又 △F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝c，∴e＝＝＝＝－1.故选D.5．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线[答案]A[解析] |PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.用心爱心专心1即|F1Q|＝2a.∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．6．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A．3B．2C.D.[答案]C[解析]依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x12＋2y12＝4，x22＋2y22＝4，∴x12－x22＝－2(y12－y22)，∴此弦斜率k＝＝－＝－，∴此弦所在直线方程y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝，x1＋x2＝2.∴|AB|＝·＝·＝.7．(2010·四川理改编)椭圆＋＝1(a>b>0，c2＝a2－b2)的右焦点为F，直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C．[－1,1)D.[答案]D[解析]由题意得|PF|＝|AF|＝－c， a－c≤|PF|≤a＋c，∴a－c≤－c≤a＋c，≤e<1.8．(文)已知P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.[答案]D[解析] PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，又tan∠PF1F2＝，令PF2＝PF1＝x，则，∴，∴e＝＝.故选D.(理)设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.[答案]B[解析]由正弦定理得＝＝＝＝，∴e＝＝＝＝.二、填空题9．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则t的取值范围是________．[答案][1,5)[解析]用数形结合法， y＝kx＋1恒过定点(0,1)，只要使(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，就能用心爱心专心2满足题设条件．∴，∴1≤t<5.10．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．[答案]－1[解析]令AB＝2，则AC＝2，∴椭圆中c＝1,2a＝2＋2⇒a＝1＋，可得e＝＝＝－1.11．(2010·全国卷Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．[答案][解析]解法1：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF＝(c，－b)，FD＝(xD－c，yD)， BF＝2FD，∴，∴.∴＋＝1，即e2＝，∴e＝.解法2：|BF|＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2FD得，＝＝，所以|DD1|＝|OF|＝c，即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－又由|BF|＝2|FD|，得c＝2a－，整理得3c2－2a2＋ac＝0.两边都除以a2，得3e2＋e－2＝0，解得e＝－1(舍去)，或e＝.三、解答题12．(2010·福建理)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析]解法1：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为f′(－2,0)．从而有解得又a...
