第9章第1节一、选择题1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是()A．所有的直线都有倾斜角和斜率B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案]B[解析]所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则()A．b>0，d<0，a
0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>cD．b<0，d>0，a－>0，－<0，－>0，从而c0.3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是()A．(－∞，1]B．(0,1]C．(0,1)D．(－∞，1)[答案]A[解析]由题意知直线过圆心(－1，－2)，∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2，∴ab≤＝，∴ab≤1.4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，)内变动时，a的取值范围是()A．(，1)∪(1，)B．(，)C．(，1)D．(1，)[答案]A[解析]因为k1＝1，k2＝a，由数形结合知，直线l2的倾斜角α∈(，)∪(，)，所以直线l2的斜率a∈(，1)∪(1，)．5．过点P(－1,2)且方向向量为a＝(－1,2)的直线方程为()A．2x＋y＝0B．x－2y＋5＝0C．x－2y＝0D．x＋2y－5＝0[答案]A[解析]因为方向向量a＝(－1,2)，所以直线的斜率k＝－2，又过点P(－1,2)，所以由点斜式求得直线方程为2x＋y＝0.6．(2011·山东济宁)已知点A(1,3)，B(－2，－1)，若直线l∶y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，用心爱心专心1则k的取值范围()A．k≥B．k≤－2C．k≥或k≤－2D．－2≤k≤[答案]D[解析]如图，l过P(2,1)，kPA≤k≤kPB，kPA＝＝－2，而kPB＝，∴－2≤k≤.7．过抛物线y2＝4x的焦点，且与圆x2＋y2－2y＝0相切的直线方程是()A.x＋y－3＝0，y＝0B.x－y－3＝0，y＝0C.x＋y＋3＝0，x－y＋3＝0D.x＋3y－3＝0，x－3y－3＝0[答案]A[解析]抛物线焦点F(，0)，圆的方程x2＋(y－1)2＝1，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y＝0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.8．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是()A.>>B.>>C.>>D.>>[答案]B[解析]作函数f(x)＝log2(x＋1)的图像，易知表示直线的斜率．∴>>，故选B.二、填空题9．一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．[答案]4x＋y－8＝0[解析]设l：＋＝1(a，b>0)．因为点P(1,4)在l上，所以＋＝1.由1＝＋≥2⇒ab≥16，所以S△AOB＝ab≥8.用心爱心专心2当＝＝，即a＝2，b＝8时取等号．故直线l的方程为4x＋y－8＝0.10．(2009·江西理)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．[答案]BC[解析]考查直线系方程及直线恒过定点问题．因为xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d＝＝1.即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误．又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，故命题中正确的序号是B，C.11．已知a∈R，直线(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0过定点P，点Q在曲线x2－xy＋1＝0上，则PQ连线斜率的取值范围是________．[答案][－3，＋∞)[解析]P(0,4)，设Q(x，y)，则y＝(x≠0)，k＝＝2－4＋1＝2－3≥－3.三、解答题12．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1∶2x－y－2＝0与l2∶x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．[分析]设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6－x，－y)在l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程．[解析]方法一设点A(x，y)在l1上，由题意知，∴点B(6－x，－y)，解方程组得，k＝＝8.∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，...
