第8章第4节一、选择题1．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析]本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案]D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．2．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析] D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又 P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又 E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又 PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又 PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.3．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案]B[解析]连接BC， PB⊥α，∴AC⊥PB.又 PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上．故选B.4．设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC，AD的中点，如右图，则用心爱心专心1△BEF在该四面体的面ABC的上射影是下图中的()[答案]B[解析]取BC中点G，连接AG、DG，可证AD在面ABC的上射影为AG，则F在面ABC上的射影在AG上．5．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图(2)所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF[答案]A[解析](1)直接法在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.(2)(排除法)GF即G3F不垂直于SF，∴可以否定C；△GSD中，GS＝a(正方形边长)，GD＝a，SD＝a，∴SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而否定B和D.6．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)如图所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°用心爱心专心2[答案]B[解析]过P作PQ∥AB.则PQ为面ABP与面CDP的交线， AP⊥AB，∴AP⊥PQ.又CD⊥AD且CD⊥AP，∴CD⊥DP，即DP⊥PQ所以∠DPA为所求的二面角的平面角．显然∠DPA＝45°，故选B.7．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④[答案]A8．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α；④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]⇒b∥α或b⊂α；⇒b∥α或b⊂α；⇒a∥α或a⊂α.(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.[答案]C[解析]过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M⊥平面DD1C1C，∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝，又A1C＝＝＝4，∴sin∠A1CM＝＝，故应选C.二、填空题9．在△ABC中，∠...
