第5章第2节一、选择题1．(2009·重庆文)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2[答案]D[解析]考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件．a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，由题意可得3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.2．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP＝aOP1＋bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0[答案]B[解析]由于点P落在第Ⅲ部分，且OP＝aOP1＋bOP2，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0，b<0.3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.[答案]B[解析] p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，又 C∈(0，π)，∴C＝，故选B.4．c，d是不共线向量，则下列选项中不共线的一组是()A．a＝－2(c＋d)，b＝2(c＋d)B．a＝c－d，b＝－2c＋2dC．a＝4c－d，b＝c－dD．a＝c＋d，b＝2c－2d[答案]D[解析] A选项中a＝－b，∴a与b共线；B选项中b＝－2a，∴a与b共线；C选项中a＝4b，∴a与b共线．5．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a等于()A．2B．1C.D.[答案]A用心爱心专心1[解析]设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)， AC＝2CB，∴解得∴C(3,3)．又 C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2.6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA＝a，OB＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()[答案]A[解析]令λ＝0，μ＝1时，OC＝OB，当λ＝μ＝0时，OC＝0，C(0,0)．所以由图可知，只有A正确．7．(2011·济南模拟)在四边形ABCD中，AB＝(1,2)，BC＝(－4，－1)，CD＝(－5，－3)，则四边形ABCD是()A．长方形B．梯形C．平行四边形D．以上都不对[答案]B[解析]AD＝AB＋BC＋CD＝(1,2)＋(－4，－1)＋(－5，－3)＝(－8，－2)＝2(－4，－1)＝2BC，∴AD∥BC.又 AB＝(1,2)，CD＝(－5，－3)，∴2×(－5)－1×(－3)＝－7≠0，∴AB与CD不共线，故四边形ABCD为梯形．8．(2011·汕头模拟)已知两个向量a＝(t，)，b＝，其中t，u都是正实数，且a＝2b，则的取值范围是()A．[1,6]B．[－6,1]C．[4，＋∞)D．(－∞，1][答案]C[解析]本题考查平面向量的坐标运算及均值不等式的应用．由a＝2b得：t＝2x＋2，＝u，故＝＝2≥2×2＝4，当且仅当x＝1时取得等号．二、填空题9．(2010·陕西理)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.[答案]－1用心爱心专心2[解析]a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，c＝(－1,2)， (a＋b)∥c，∴＝，∴m＝－1.10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．[答案]－[解析]解法1：设BC方程为＋＝1， A、B、C共线，∴＋＝1，∴＋＝－.解法2： A、B、C共线，∴AB∥AC， AB＝(2，m＋2)，AC＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0， mn≠0，∴＋＝－.11．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|＝2，则OC＝________.[答案][解析]解法1：如图，在y轴正向上取点A′，使OA′＝OB， |OB|＝5，∴A′(0,5)， C在∠A′OB的平分线上．∴M为A′B中点，M，OM为OC的方向向量，∴OC＝λOM＝(λ>0)，|OC|＝2⇒2＋2＝4，∴λ＝，∴OC＝.解法2：OC＝2×＝＝.[点评]解法2连续应用单位向量来表示向量，请仔细体会赏析，学用．三、解答题12．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(3,2)、OP＝OA＋tAB，(1)t为何值时，点P在x轴上？(2)以O、A、B、P为顶点的四边形能否为平行四边形？[解析]OP＝OA＋tAB＝(2，－1)＋t(1,3)＝(t＋2,3t－1)．(1)若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝.(2)若OB为四边形OABP的一条对角线，则OP＝AB，∴无解；若AB为四边形OAPB一条对角线，则OB＝AP，∴无解．用心爱心专心3若OA为四边形OBAP的对角线，则OB＝PA，∴无解．∴以O、A、B、P四点为顶点不可能构成平行四边形．13．在△ABC...
