第5章第1节一、选择题1．(2011·泰安模拟)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形[答案]C[解析]AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，∴AD∥BC，且|AD|＝2|BC|，∴ABCD为梯形．故选C.2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()A.B.C．－D．－[答案]A[解析] AD＝2DB，∴CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB.又 CD＝CA＋λCB，∴λ＝.3．(2009·海南、宁夏理)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)[答案]C[解析]本题主要考查向量知识和学生分析问题的能力． O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O是△ABC外接圆的圆心，由NA＋NB＋NC＝0，得N是△ABC的重心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA得PB·(PA－PC)＝PB·CA＝0，∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，∴P为△ABC的垂心．4．(2010·全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB，若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b[答案]B[解析]由角平分线定理得＝，即AD＝2DB，即AC＋CD＝2(DC＋CB)，∴3CD＝2CB＋CA，∴CD＝a＋b.5．(2009·北京理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向用心爱心专心1[答案]D[解析]考查向量相等及向量平行的条件． c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴，∴k＝－1，λ＝－1.故选D.6．下列命题中真命题是()①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝0③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0A．①或③B．②或③C．①或④D．②或④[答案]B7．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上[答案]B[解析]本题考查平面向量的共线问题，由CB＝λPA＋PB得CB－PB＝λPA，∴CP＝λPA.则CP与PA为共线向量，又CP与PA有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.8．(2011·营口一模)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]AD＋BE＋CF＝AB＋BD＋BC＋CE＋BF－BC＝AB＋BC＋BC－AC－AB－BC＝(AB－AC)＋BC＝CB＋BC＝－BC，故选A.二、填空题9．化简：(1)AB－AD－DC＝________(2)(AB－CD)－(AC－BD)＝________[答案]CB，0[解析]运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．(1)AB－AD－DC＝DB－DC＝CB(2)解法1：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.解法2：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.解法3：设O为平面内任意一点，则有(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.10．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是________．[答案][解析]由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.用心爱心专心211．若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．[答案]等腰梯形[解析] AB＝3a，CD＝－5a，∴AB＝－CD，∴AB∥CD，且|AB|≠|CD|，∴四边形ABCD为梯形．又 |AD|＝|BC|，∴ABCD为等腰梯形．三、解答题12．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[分析]运用向量共线的条件，确定是否存在实数k...
