第4章第5节一、选择题1．(2010·新课标文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝()A．－B.C．－D.[答案]A[解析]本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.2．(2011·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0B.C.D．1[答案]D[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.3．已知－<α<，sin＝，则sinα＝()A.B.C.D.[答案]A[解析] －<α<，∴－<－α<，又sin＝，∴cos＝，∴sinα＝sin＝，故选A.4．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()A．－7B．7C．－D.[答案]B[解析]由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.5．已知cos＝，则sin2α的值为()A.B．－C．－D.[答案]C[解析]方法1：sin2α＝cos(－2α)＝2cos2(α－)－1＝－，故选C.方法2：cos(α－)＝cosα＋sinα＝两边平方得＋sin2α＝，∴sin2α＝－，故选C.6．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是()A.B．－C．±D．±[答案]B[解析]由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得，用心爱心专心1相加得cos(x－y)＝，且x、y均为锐角，∴sin(x－y)＝，∴tan(x－y)＝－，故选B.7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于()A．－B．－C.D.[答案]B[解析] sin＝－，－β∈∴－β＝－① cos＝，α，β∈，∴α－∈，∴α－＝－或②由①②有或(舍去)，∴cos(α＋β)＝cos＝－.8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是()A.∪B.∪C.D.[答案]D[解析]由条件知2tanB＝tanA＋tanC(※)显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立． tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－，且tanB≠0，∴tanAtanC＝3，∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3， tanB>0，∴tanB≥，≤B<，即B的取值范围是，选D.二、填空题9．(2011·乐山模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，则β＝________.[答案][解析] α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝， 0<β<，∴β＝.10．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.[答案]π[解析]解法1：f(x)＝sinsin＝－＝－cos＋.∴T＝π.解法2：y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴T＝π.11．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.[答案][解析]由题意知：用心爱心专心2①＋②⇒cosαcosβ＝，③②－①⇒sinαsinβ＝，④得：tanαtanβ＝.三、解答题12．(2011·北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：(1)tan的值；(2)的值．[解析](1) tan＝，且tanα＝2，∴tan＝＝－3.(2)＝＝＝tanα＋＝.13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解析]由已知得cosα＝，cosβ＝. α、β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝，∴tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1. α、β为锐角，0<α＋2β<，∴α＋2β＝.14．(文)若sinA＝，sinB＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．[分析]欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．[解析] A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，∴cosA＝－＝－＝－，cosB＝－＝－＝－，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝①又
