第3章第2节一、选择题1．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D．a<－[答案]B[解析]由y′＝(eax＋3x)′＝aeax＋3＝0得x＝ln>0及a<0，∴ln<0，∴0<－<1，∴a<－3.2．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是()A．π－1B.－1C．πD．π＋1[答案]C[解析]f′(x)＝1－cosx≥0∴f(x)在上为增函数∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，故选C.3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]本题考查了导数的应用及求导运算． x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C.4．(2011·西安模拟)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3
0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2C．m≤D．m<[答案]A[解析]由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.6．当x≥2时，lnx与x－x2的关系为()用心爱心专心1A．lnx>x－x2B．lnx0，∴F(x)在[2，＋∞)上为增函数．又 F(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，∴F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，∴即lnx＋x2－x>0，∴lnx>x－x2.7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为()A.cmB.cmC.cmD.cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0所以当x＝时，V取最大值．8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案]B[解析]f(x)是奇函数，g(x)为偶函数．x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.二、填空题9．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____．[答案]a≥1[解析]由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)， g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.10．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.[答案]2，－2用心爱心专心211．(2011·广州综测)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[答案](－2,2)[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．当x<－1时，f′(x)>0；当－11时，f′(x)>0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解得－2
