第12章第3节一、选择题1．(2010·陕西理)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1B.C．1D．2[答案]D[解析]C5r·xr()5－r＝Cnr·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C54·a＝10，得a＝2.2．(2010·江西理)(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2[答案]B[解析](2－)8展开式的通项为Tr＋1＝C8r28－r(－)r＝(－1)r·28－rC8rx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.3．(2011·潍坊一模)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]A[解析]赋值法：令x＝－1，a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2·(－1)9＝－2.4．(2011·信阳调研)在(x－)10的展开式中，x4的系数为()A．－120B．120C．－15D．15[答案]C[解析]Tr＋1＝C10rxr·(－)10－r.令xr·(－)10－r＝a·x4(a为常数)，∴r＝7，∴a＝(－)3.∴系数为C107·(－)3＝－15.5．如果n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10[答案]B[解析] Tr＋1＝Cnr(3x2)n－rr＝(－2)r3n－rCnrx2n－5r，当2n－5r＝0时，2n＝5r，又 n∈N*，r∈N，∴n是5的倍数．∴n的最小值为5.6．(2011·巢湖一模)已知(x2－)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是()A．－1B．1C．－45D．45[答案]D[解析]由题知第三项的系数为Cn2(－1)2＝Cn2，第五项的系数为Cn4(－1)4＝Cn4，则有＝，解之得n＝10，用心爱心专心1由Tr＋1＝C10rx20－2r·x－(－1)r，当20－2r－＝0时，即当r＝8时．常数项为C108(－1)8＝C102＝45，选D.7．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．28[答案]B[解析]由题意可知n＝8，Tr＋1＝C8r8－rr＝8－r(－1)rC8r·x8－r.∴r＝6，∴2×(－1)6C86＝7.8．(2009·江西)(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5[答案]D[解析]考查二项式定理的灵活运用．不含x项的系数的绝对值的和为(1＋b)n，故(1＋b)n＝243，同理，不含x项的系数的绝对值的和为(1＋a)n＝32.即，所以a，b，n的可能取值为a＝1，b＝2，n＝5.二、填空题9．若(2x－1)6(x＋1)2＝a0x8＋a1x7＋a2x6＋a3x5＋a4x4＋a5x3＋a6x2＋a7x＋a8，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝________.[答案]4[解析]令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝4.10．(2011·安师大附中期中)(＋2x)n的二项展开式中，若各项的二项式系数的和是128，则x5的系数是________．(以数字作答)[答案]560[解析]因为(＋2x)n的二项展开式中，各项的二项式系数的和为128，所以2n＝128，n＝7.该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C7r·2r(x－)7－r(x)r＝C7r·2rx，令＝5得r＝4，所以展开式中x5的系数为C74×24＝560.11．(2010·辽宁理)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5[解析](1＋x＋x2)6＝6＋x6＋x26，∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝C6rx6－r(－1)rx－r＝C6r(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C63＋C64＝－5.用心爱心专心2三、解答题12．求x(1－x)4＋x2(1＋2x)5＋x3(1－3x)7展开式中各项系数的和．[分析]如果展开各括号，则会使运算量增大，如果设展开后为a0x10＋a1x9＋…＋a9x，则问题转化为求a0＋a1＋…＋a9的值，再令等式中x＝1，即可求解．[解析]在原式中，令x＝1，得1×(1－1)4＋12×(1＋2)5＋13×(1－3)7＝115.∴展开式各项系数和为115.[点评]在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值(a∈R)．[解析](x2＋)5的通项公式为Tr＋1＝C5r(x2)5－r·()r＝C5r·()5－r·x令20－5r＝0，则r＝4，∴常数项为T5＝C54×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，依题意得2n＝16，n＝4，由二项...
