高三数学立体几何与空间向量（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何与空间向量二.重点、难点：（一）1.在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用。2A、B、C三点共线3.共面向量均在平面内（x，y唯一）4.空间向量的坐标表示（1）（2）（3）（二）直线，m的方向向量为平面的法向量为（1）（2）（3）（4）（5）（6）（三）三种空间角的向量法计算公式：1.异面直线所成的角：；2.直线与平面（法向量）所成的角；；3.锐二面角：，其中为两个面的法向量。用心爱心专心【典型例题】[例1]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点。求证：A1O⊥平面GBD。证明：设，则而∴∴，A1O⊥OG又 BD∩OG=O∴A1O⊥平面BDG[例2]如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱AM的长为，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点。（1）以为基向量表示出向量，并求CM的长；（2）求BN的长。解析：（1）∴（2）用心爱心专心∴∴[例3]若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案：B解析： 同理，，故△BCD为锐角三角形，因此选B[例4]已知A（3，1，5）、B（－2，－1，4），求直线AB与坐标平面的交点M的坐标。解析：设M（，0，），由条件A、B、M三点共线∴ ，∴∴∴M[例5]在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），M（0，1，），Q（），设P（x，0，1）∴用心爱心专心∴∴选D[例6]已知，，若，则与的值可以是（）A.2，B.C.－3，2D.2，2答案：A解析： ∴存在实数，使，即：∴∴或，故选A。[例7]若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A.2B.－2C.－2或D.2或答案：C解析： [例8]在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则与C1B所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°答案：B解析：如图，，设∴用心爱心专心∴[例9]已知空间三点A（0，2，3）、B（－2，1，6）、c（1，－1，5），求以、为邻边的平行四边形的面积。解析：故以、为邻边的平行四边形面积为[例10]在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面A1BC1//平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离。分析：证面面平行，只需证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，而计算面面距离，除找公垂线段外，还可求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，还可用“体积法”计算。解答：（1）由于BC1//AD1，则BC1//平面ACD1同理，A1B//平面ACD1，则平面A1BC1//平面ACD1（2）设两平行平面A1BC1与平面ACD1间的距离为，则等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=，BC1=，则则，则由于，则代入求得，即（1）中两个平行平面间的距离等于[例11]在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=，PB=PD=，F为PC的中点，点E在PD上，且，求证：BF//平面AEC。解析： 用心爱心专心∴、、共面又平面AEC，从而BF//平面AEC[例12]在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.答案：A解析：建立如图所示的坐标系，设BC=1，则A（－1，0，0），F1（，0，1），B（0，－1，0），D1（）即∴[例13]如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。求证：（1）A1C⊥平面BED；（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值。解答：（1）证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA1⊥底面ABCD，AC⊥BD∴A1C⊥BD又 A1B1⊥侧面BC1且B1C⊥BE∴A1C⊥BE BD∩BE=B∴A1C⊥平面BDE（2）设A1C交平面BDE于点K，连BK，则∠A1BK为A1B与平面BDE所成的角用心爱心专心 在侧面BC1中，BE⊥B1C △BCE∽△B1BC∴又BC=2，BB1=4∴CE=1连OE，则OE为平面ACC1A1与平面DBE的交线∴OE∩A1C=K在中，∴又 ∴∴∴在中，即A1B与平面BDE所成的角的正弦值为[例14]如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2...
