直线和圆的方程（理）一周强化一、一周内容概述本周复习内容为第七章“直线和圆的方程”.主要内容有直线的方程、线性规划、圆三部分，是解析几何中比较基础的部分．主要考查形式有：（1）直线方程特征值（斜率、截距等）的有关问题；（2）直线平行和垂直的条件；（3）角度与距离的问题；（4）圆的特征值（圆心、半径等）；（5）直线与圆的综合性问题；（6）线性规划的应用问题等．涉及的数学思想有：数形结合，方程的思想等，因此处理起来技巧性比较强.二、本周复习的重点与难点（一）本周复习的重点1、求直线和圆的方程；2、运用坐标公式求距离，求角度，求面积及圆的切线、弦长等问题；3、直线间的位置关系，直线与圆间的位置关系的判定和应用；4、线性规划应用问题.（二）本周复习的难点1、灵活运用直线方程的几种形式求直线的方程；2、灵活运用圆的方程的几种形式求圆的方程；3、数形结合、函数与方程、等价转换、分类讨论等多种数学思想，坐标法、向量法、参数法、消元法等多种方法的灵活运用.三、例题解析用心爱心专心例1、设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）A．B．C．D．分析：直线ax+by+c=0的倾斜角为，则直线的斜率为tan=－，由sin+cos=0知tan=－1，即－=－1，所以.答案：D例2、过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线1：x－3y＋10=0，2：2x＋y－8=0所截得的线段恰好被M所平分.求此直线方程.分析：所求直线过点M(0,1)，故只需设出点斜式方程，由另一条件确定斜率，直线方程可求，而在具体求斜率时，既可先由k表示出所求直线1，2的交点坐标，再由M为中点确定斜率，也可由所求直线与1，2都相交，设法建立x的一元二次方程，找到所求直线与1，2的交点的横坐标之和，再由M为中点来确定斜率.解答：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y=kx＋1，与已知两直线1，2分别交于A、B两点，联立方程组：用心爱心专心由（1）解得：由（2）解得： 点M平分线段AB，∴xA＋xB=2xM，即解得.故所求直线的方程为x＋4y－4=0.点评：至于分析提到的方法（2）留给同学们自行作答.例3、（1）P（4，2）是圆C，x2＋y2－24x－28y－36=0内的一个定点，圆上的动点A、B满足∠APB=90°，求弦AB中点Q的轨迹方程．（2）已知定点A（0，2）及⊙O：x2＋y2=4．过A作直线MA切⊙O于A，M为切线上一个动点，MQ切⊙O于Q点（如图），求△MAQ的垂心H的轨迹方程．分析：圆的性质很多，如垂径定理、切线的性质等，恰当地运用性质转化已知条件，可使求轨迹方程的过程简化．这两题均可采用几何法求轨迹．解：（1）△PAB为直角三角形，Q为中点，则|PQ|=|BQ|=|AB|，且CQ⊥AB．用心爱心专心在△CQB中，|CQ|2＋|QB|2=|BC|2，∴即|CQ|2＋|PQ|2=|BC|2．设Q（x，y），C（12，14），|BC|2=376，∴(x－12)2＋(y－14)2＋(x－4)2＋(y－2)2=376，整理得x2＋y2－16x－16y－8=0．（2）连OQ，则OQ⊥MQ，AH⊥MQ（H为垂心），∴OQ∥AH．又OA⊥AM，QH⊥AM（H为垂心），∴OA∥AH，∴四边形OAHQ为平行四边形．又OA=OQ，∴平行四边形OAHQ为菱形．∴|AH|=|OA|=2．∴H的轨迹方程为x2＋(y－2)2=4(x≠0)．点评：此题涉及直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法，直接用几何性质求轨迹是一种常用的方法，应注意它的应用.例4、已知直线y=k(x＋2)与曲线|y|=x2(|y|≤1)（1）若k=－1，求出直线与曲线的交点；（2）若k∈R，试确定直线与曲线的交点个数.分析：探讨直线与曲线交点问题可转化为探讨方程组解的个数问题.解答：（1） k=－1，则此时直线方程为y=－x－2，代入方程|y|=x2，得|x＋2|=x2，若x≥－2时，x2=x＋2，即x2－x－2=0，用心爱心专心解得x=－1或x=2.又 |y|≤1，∴x2≤1，∴x=－1，y=－1若x＜－2时，则x2=－(x＋2)，即x2＋x＋2=0. △＜0，∴此时无交点.故所求交点为(－1,－1).（2）曲线|y|=x2(|y|≤1)即抛物线y=x2和y=－x2的一部分，直线恒过定点P(－2,0)，在同一坐标系中作出它们的图形如图.当k＜kPD，或kk﹥PC时，直线与曲线无交点.当kPD≤k＜kPA或k=kPO或kPB＜k≤kPC时，直线与曲线有一个交点.当kPA≤k＜0或0＜k≤kPB时，直线与曲线有两个交点.即k＜－1或k1﹥时，没有交点；或k=0或时，有唯一交点；或时...
