。。警H数学THEORY200010MATEMATICALTEORiA应ND用APPLIcATION年月HPPLICAVolZ0No．4Oct2000直线与圆锥曲线相关位置的一个判定’郴州师专423000)0t2、f(郴州师专数学系郴州{d、f摘要矗文利用圈锥曲线划分平面的定理，培出了合多士敷的直线与圈锥曲线有公共点时，其相应誊敷斤满足的条件．．．关键词直线墅竺苎塞监共点设二次曲线的一般方程为F(x，y)~-a以下简记为二次曲线F(x，)=O．记F1(，)=口11+口12+口1{F3(，)=口13+口23Y+口{{：+∞，+口22Y+2a13+23+口3{一0(1)(，)=4l】+2a】2xy+a22设平面上过点只(，弘)，具有方向x：y的直线方程为{：(2)引理1点只(，yD在圆锥曲线F(x，)=0的内域(外域)的充要条件是I·F(xY)>O(O)或者a·F(xo，Y。)O)，以上引理证明见文[2]．引理2对于非退化的双曲线，直线与其渐近线平行的充要条件是直线与双曲线有唯一的实交点，且不含两重合交点．证明设双曲线的方程为(1)，且J0或F{(Xo，)-a：2F(xo，)>O且4rF1(⋯Y)一目12F(xo，弘)]。一4rF}(，yo)一目1'F(Xo，Y)]·rF{(xo，)一口nF(z。，)]≤O即1'F{(。，弘)+口F{(，)一2aFL(xo，yo)F：(xo，)+口{2F(xo，Y。)-a11dF(x。，)]·F(Xo，)≤0亦即(口】1口{3+a：羽-2a1【3a：3+口z2a{3一口1l口22a")F(，弘)≤O-I3·F(xo，yo)=O所以』3·F(，弘)>10其中』：是椭圆F(x，)=O的系数行列式．又』a≠O，由引理l，点(xo，Y)在椭圆F(x，)=O的内域或边界上．再由引理1，则有atzF(，Y)≤O或d22F(x。，弘)≤O口定理2直线(2)对任意不全为零的实数x，y与双曲线F(x，)=0有公共点的充要条件是，满足当(x，y)≠0时，I。·F(xo，)≥o；当(x，y)：o时，F(xo，)一孚≠o．证明将(2)代入(1)整理得(3)．由于二次曲线F(x，)一O为双曲线，故当(x，y)≠O时，完全类似定理l的讨论．当(x，y)=0时，由于双曲线的渐近线与双曲线无交点，则由引理2，直线(2)与双曲线(1)恒有交点的充要条件是直线与双曲线的渐近线平行，即点(Xo，yo)不在双曲线的渐近线上，从而，(，弘)一鲁≠。．定理3直线(2)对任意不全为零的实数x，y与抛物线F(x，)一0有公共点的充要条件是，满足当(x，y)≠O时，all，(。，)≤O或口：2F(xo，弘)≤O；当(x，y)=0时，．yo为任意实数．证明类似，从略．根据定理，可以简捷地解决直线同圆锥曲线相交的条件及判定其是否相交等问题．60数学理论与应用第20卷倒1已知直线：(m为任...
