高三数学理科不等式的概念与性质、不等式证明一.本周教学内容：不等式的概念与性质、不等式证明二.本周教学重难点：1.理解不等式的性质，掌握不等式性质的应用。2.掌握比较法，分析法，综合法证明简单的不等式。3.了解反证法，放缩法等证明不等式的方法。典型例题:[例1]若，，，则（）A.B.C.D.解：方法1：∵，，又∵∴∴∴方法2：∴同理：∴方法3：设，令∴（）（）+0－↑极大值↓又∴通过模拟函数的图象可得∴选C[例2]设，，试比较与的大小。解：方法一：依题意可知∵∴方法二：由已知用心爱心专心122号编辑1又∵∵∴∴[例3]已知函数，满足，，求的最值。解：由题意，知设则，解得又∵故即∴的最大值为20，最小值为[例4]设函数为R上的增函数，令（1）证明在R上为增函数；（2）若，证明。证明：（1）取，则∵为R上的增函数∴于是∴，即为R上的增函数（2）∵①但∴②②代入①：用心爱心专心122号编辑2即已证为R上的增函数∴，即[例5]已知，，求证：（1）（2）（3）证明：（1）当且仅当即时，等号成立（2）（3）当且仅当即时，等号成立[例6]是否存在常数，使得对任意正数恒成立？试证明你的结论。解：令得∴下面证明：（1）先证明∵要证只需证即显然成立∴（2）再证只需证即显然成立∴用心爱心专心122号编辑3综上所述，存在常数对任何正数成立[例7]已知函数满足下列条件：对任意的实数，都有和，其中是大于0的常数，设实数满足和，（1）证明，并且不存在，使得；（2）证明；（3）证明。证明：（1）证法一：任取，且，则由①和②可知从而假设有，使得，则由①式知，矛盾∴不存在，使得证法二：不妨设∵，∴∴是R上的增函数∵∴不存在，使得由②得∴即（2）由③用心爱心专心122号编辑4可知④由和①式，得⑤由和②式，知⑥将⑤⑥式代入④式，得（3）由③式，可知（用②式）（用①式）一.选择题：1.若，则下列不等式中总成立的是（）A.B.C.D.2.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.3.已知函数，，，，，那么的值（）A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能4.已知，且，设，，，则（）用心爱心专心122号编辑5A.B.C.D.5.设正数满足，且，则（）A.B.C.D.6.已知，，，则的最小值为（）A.B.C.D.7.设，则三个数（）A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于28.已知，有不等式，…，启发我们可以推广为，则的值为（）A.B.C.D.二.解答题：1.已知，且，求的范围。2.设，试比较与的大小。3.设二次函数（，且）。（1）已知，试求的解析式及的最小值；（2）已知，，当时，求证：。用心爱心专心122号编辑6[参考答案]http://www.DearEDU.com一.1.C解析：由，选，或取特值，令，排除A、D。再令排除B。2.C解析：由题意，不妨设，逐一验证只有C：成立，故选C。3.B解析：由题意易知为R上的单调奇函数又∴∴故①同理，②③将①②③相加，得4.A解析：∵∴，又，故，而，故，5.C解析：由题意①②故由①②可知，即6.B解析：由所给的3个方程可解出，故当或，时，取得最小值为7.D解析：∵，故三者至少有一个不小于2。8.A用心爱心专心122号编辑7解析：由，有不等式，，…，可以推广为，故的值为。二.1.解析：设∴，解得∴即故的取值范围是2.解析：设∵，，且这里，∴，即故3.解析：（1）由题设，，则得或，即或，而不合题意∴∵∴代入，得∴或∴或总有的最小值是（2）证明：由题设，得∴∴∴无论在上是否单调，在区间上的最大值、最小值总是在或处取得用心爱心专心122号编辑8故必小于等于中的最大值由题设∴当时，用心爱心专心122号编辑9
